Taak Representatietheorie

3449 days ago by Sam.Claerebout

Sam Claerebout

We maken de variabelen en de partities die we gaan gebruiken aan. L is de geordende lijst van partities van orde 4.
var('x1, x2, x3, x4') x=[x1,x2,x3,x4] L=[[1,1,1,1], [2,1,1,0], [3,1,0,0], [2,2,0,0], [4,0,0,0]] delta=[3,2,1,0] 
       

We gebruiken de eigenschap dat $a_{\delta}$ gelijk is aan de Vandermonde determinant om $a_{\delta}$ te definieren.
a_delta=1 for j in [2..4]: for i in [1..(j-1)]: a_delta=a_delta*(x[i-1]-x[j-1]) a_delta 
        
(x1 - x2)*(x1 - x3)*(x1 - x4)*(x2 - x3)*(x2 - x4)*(x3 - x4)
(x1 - x2)*(x1 - x3)*(x1 - x4)*(x2 - x3)*(x2 - x4)*(x3 - x4)

We berekenen $p_\rho$ voor alle partities in L.
pr=[0,0,0,0,0] p = SymmetricFunctions(QQ).power() for i in [0..4]: pr[i]=p(L[i]) 
       

We berekenen $a_\delta p_\rho$ en stoppen deze veeltermen in K. De extra expand() op het einde zorcht er voor dat de veeltermen volledig uitgewerkt zijn.
K=[0,0,0,0,0] for i in [0..4]: K[i] = (pr[i].expand(4, alphabet=x)*a_delta).expand() 
       

We stellen een matrix T op die ons de gevraagde karaktertabel zal geven en printen deze uit.
T=[[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0]] for j in [0..4]: for i in [0..4]: c=1 for k in [0..3]: c=c*x[k]^(L[j][k]+delta[k]) T[j][i]=K[i].coefficient(c) for k in [0..4]: print T[k] 
        
[1, -1, 1, 1, -1]
[3, -1, 0, -1, 1]
[3, 1, 0, -1, -1]
[2, 0, -1, 2, 0]
[1, 1, 1, 1, 1]
[1, -1, 1, 1, -1]
[3, -1, 0, -1, 1]
[3, 1, 0, -1, -1]
[2, 0, -1, 2, 0]
[1, 1, 1, 1, 1]

Als we T als volgt rangschikken, dan krijgen we de karaktertabel zoals we gezien hadden in de les.
print T[4] print T[0] print T[2] print T[1] print T[3] 
        
[1, 1, 1, 1, 1]
[1, -1, 1, 1, -1]
[3, 1, 0, -1, -1]
[3, -1, 0, -1, 1]
[2, 0, -1, 2, 0]
[1, 1, 1, 1, 1]
[1, -1, 1, 1, -1]
[3, 1, 0, -1, -1]
[3, -1, 0, -1, 1]
[2, 0, -1, 2, 0]