|
|
e: 0.566043072241 f: 0.534307908631 g: 0.665091313457 4.89127322034907 e: 0.566043072241 f: 0.534307908631 g: 0.665091313457 4.89127322034907 |
https://en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve#.5BUn.5DFolding_the_Dragon
eerste iteratie | R |
tweede iteratie | RRL |
derde iteratie | RRLRRLL |
vierde iteratie | RRLRRLLRRRLLRLL |
vijfde iteratie | RRLRRLLRRRLLRLLRRRLRRLLLRRLLRLL |
Men kan inzien dat een echt vierkant drie opeenvolgende R'en of L'en zijn. Men kan ook zien dat vanaf de tweede iteratie er één bijkomt en degene die er al waren verdubbelen.
Dus: $2^{n-3}-1$
|
Beetje leuke mechanica, hier op verzoek uitgewerkt:
Noem $l$ en $m$ de lengte en massa van de projectielarm van de katapult, $L$ en $M$ de lengte en massa van de contragewichtarm en $\theta$ de $\alpha$ uit de vraag.
Door het hefboomprincipe weten we dat kracht*arm constant blijft dus:
$LMg\cos(\theta) = lmg\cos(\theta)+(l^2m+L^2M)\alpha$
Met $\alpha$ de hoekversnelling van de katapult.
$LMg\cos(\theta) = (l^2m+L^2M)\frac{d^2\theta}{dt^2}+lmg\cos(\theta)$
Dit geeft ons de volgende differentiaal vergelijking:
$\frac{d^2\theta}{dt^2}= \frac{ M L-ml}{l^2m+L^2M}g\cos(\theta)$
Deze is helaas niet exact op te lossen, dan maar numeriek.
|
|
In rood zie je de hoeksnelheid in blauw de hoek. We zien dat de hoek $\frac{\pi}{4}$ wordt gepasseerd na ongeveer $.5$ seconden. Deze grenzen zoeken we op en berekenen dan tot waar de kogel kan geraken.
|
|
Het projectiel geraakt dus $134.8$ meter ver.
Voor elke trekking:
Trekking | 1 juist | 2 juist | 3 juist | 4 juist | |||
$a$ | $b$ | $c$ | $d$ | $w$ | $x$ | $y$ | $z$ |
maken we volgende observatie: $A+B+C+D = 1w+2x+3y+4z$ met $A$ het aantal mensen dat $a$ heeft gekozen, $B$ het aantal dat $b$ heeft gekozen etc.
Dit leidt tot een stelsel van zeventien vergelijkingen en twintig onbekenden.
|
Free module of degree 20 and rank 3 over Integer Ring Echelon basis matrix: [ 1 0 -4 -1 0 0 -3 -1 -2 -1 1 3 -3 2 0 2 -1 1 2 0] [ 0 1 0 0 0 1 2 0 1 -1 -1 -2 1 -1 0 -1 -1 0 0 0] [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] Free module of degree 20 and rank 3 over Integer Ring Echelon basis matrix: [ 1 0 -4 -1 0 0 -3 -1 -2 -1 1 3 -3 2 0 2 -1 1 2 0] [ 0 1 0 0 0 1 2 0 1 -1 -1 -2 1 -1 0 -1 -1 0 0 0] [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] |
Stelling. Zij $n\in\mathbb N$ zo dat $n+1$ priem is en $2$ een primitieve wortel is modulo $n+1$. Definieer $f$ zoals in de opgave. Dan is er juist één niet-triviale cykel en deze bestaat uit de getallen $\frac{n^2-n}2,\ldots,\frac{n^2+n}2-1$, in een zekere volgorde.
Lemma 1. Een niet-triviale cykel heeft minstens $n$ elementen.
Bewijs. $f$ verdubbelt de waarde modulo $n+1$. Omdat $2$ een primitieve wortel is modulo $n+1$, is het aantal elementen van een niet-triviale cykel een veelvoud van $n$. $\square$
Definieer nu voor $a\in\{1,\ldots,n-2\}$ de verzameling $I_a=\{(a,a+1)_n,\ldots,(a+1,a)_n\}$.
Lemma 2. $I_a$ bevat precies één veelvoud van $n$, zijnde $(a+1)n$, en dit is niet één van de randpunten van $I_a$.
Bewijs. Deze uitspraak is niets anders dan $(a,a+1)_n<(a+1,0)_n<(a+1,a)_n$. $\square$
Lemma 3. Zij $k\in I_a$ en noem $b=(a+1)n$ het unieke veelvoud van $n$ in $I_a$. Dan geldt:
Bewijs. Stel $k=(xy)_n$.
Lemma 4. Zij $a\in\{1,\ldots,n-2\}$ en noem $b=(a+1)n$ het unieke veelvoud van $n$ in $I_a$. Dan geldt:
Bewijs. Het volstaat de volgende twee te bewijzen:
Bewijs van de stelling. Wegens Lemma 5 kan een niet-triviale cykel enkel bestaan uit elementen van $I_{n/2}$, en brengt elk element van $I_{n/2}$ een niet-triviale cykel voort. Wegens Lemma 1 heeft zo'n cykel minstens $n$ elementen, en omdat $|I_{n/2}|=n$ vormt $I_{n/2}$ de enige niet-triviale cykel. (Merk op dat Lemma 5 ook zegt dat elke rij uiteindelijk in deze cykel terecht komt.) $\square$
Nu blijkt toevallig: n+1 is priem: True De multiplicatieve orde van 2 (mod n+1) is n: True Nu blijkt toevallig: n+1 is priem: True De multiplicatieve orde van 2 (mod n+1) is n: True |
|
|