We willen graag de vergelijking $x^2 - 1 = 0$ oplossen, m.a.w. de nulpunten van $x^2 - 1$ vinden. Het commando solve() helpt ons. Probeer nu de opgave op te lossen door het intikken van
solve(x**2 - 1 == 0, x).
|
|
Vaak is het nuttig de oplossingen op een grafiek te zien. Daarvoor gebruiken we het commando plot. Tik in:
f(x) = x^2 - 1
sols = solve(f, x)
X = [x.rhs() for x in sols]
p = plot(f, min(X) - 1, max(X) + 1)
for x in X: p = p + point((x,0), pointsize=60, color='red')
p
|
|
Het commando X = [x.rhs() for x in sols] (de derde rij in de code hierboven) is nodig, omdat Sage de oplossingen als vergelijkingen opschrijft: bvb. hierboven staan de nulpunten van $x^2 - 1$ in de vorm [x == -1, x == 1]. Maar wij hebben slechts het rechterlid van die vergelijkingen nodig, en daarom gebruiken we rhs(), wat voor right-hand side staat. Tik in de commando's sols en X om het verschil te zien.
Probeer nu te verstaan wat de andere commando's doen, bvb. min(X) - 1 en max(X) + 1. Dat gaat het best als je de code hierboven op verschillende manieren verandert: wat gebeurt, bvb., als je min(X) in plaats van min(X) - 1 schrijft?
|
|
Bekijk nu de functie $f$ gegeven door $f(x) = -2x^2 - 2x + 12$. Bereken eerst de nulpunten zonder computer. Probeer daarna met Sage de grafiek van $f(x) = -2x^2 - 2x + 12$ tussen -5 en 5 in het rood te tekenen, en op dezelfde afbeelding ook de nulpunten van $f$ te tonen in het groen (Engels: green). Komt jouw resultaat overeen met de oplossing van Sage?
|
|
|
|
|
|
|
|
Bepaal de vierkantswortels (geschreven in de vorm $a+bi$) uit het complex getal $-5-12i$, dus de complexe getallen $x$ waarvoor $x^2=-5-12i$.
|
|
Controleer dan je gevonden oplossingen door ze te kwadrateren.
|
|
Tenslotte teken je de gevonden vierkantswortels als punten in het complexe vlak.
Dat kan je doen als volgt:
- benoem je oplossingen (vb. w1 en w2)
- definieer een functie die een complex getal omzet naar een punt:
def complex_point(z):
return point((real_part(z), imag_part(z)))
- en dat punt vervolgens tekent door:
complex_point(w1)+complex_point(w2)
|
|
Los de volgende vergelijking op naar $z \in \mathbb{C} : z^2 - (4+i)z+5+5i=0$.
|
|
Merk op dat Sage de vierkantswortels uit $-12i-5$ niet uitgerekend heeft. Maar dat hebben wij in Opgave 3 wel al gedaan. Gebruik dat resultaat om nu toch de oplossingen van bovenstaande vergelijking te vinden.
|
|
Wat is het getal $-12i-5$ voor de vergelijking uit de opgave : $ z^2 - (4+i)z+5+5i=0$ ? Waarom wil Sage daar een vierkantswortel uit berekenen?
|
|
Bepaal alle complexe getallen $z \in \mathbb{C}$ waarvoor geldt dat $z \cdot \bar{z}=4$.
Je kan een willekeurige complex getal ingeven als volgt: kies x en y als variabelen var('x,y') en maak daarmee een willekeurig complex getal $z = x+yi$.
Voer de symbolische berekening $z \cdot \bar{z}$ uit.
|
|
Teken nu alle complexe getallen die voldoen aan $z \cdot \bar{z}=4$ in het complexe vlak.
Tip: zet deze voorwaarde om naar een voorwaarde voor x en y en teken dit.
|
|
Nu gaat het over matrices. Om met sage een matrix op te schrijven, gebruiken we het volgende commando:
M = matrix([[1, 1], [0, 1]])
M
Probeer nu zelf de matrices $A = \left(\begin{array}{cc}1&0\\2&1\end{array}\right)$ en $B = \left(\begin{array}{cc}-1&1\\2&1\end{array}\right)$ in Sage te definiëren.
|
|
|
|
Zij $B$ de matrix uit Opgave 6. Bekijk nu het volgende stelsel lineaire vergelijkingen:
$$\left\{\begin{array}{l} - x + y = 1\\ 2x + y = 2 \end{array}\right.$$ In matrixvorm hebben we dus $$\left(\begin{array}{cc}-1&1\\2&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$$ Definieer nu de vector $v = \left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$ en gebruik het commando
w = B.solve_right(v)
w
|
|
|
|