Bekijk het volgende stelsel.
\[\left\{\begin{array}{rcl} x_1 \ \ \, -3\,x_2 + x_3 &=& 1\\ \phantom{-3\,x_2} - x_3 &=& 1\\ -x_1 +\sqrt{2}\,x_2 + x_3 &=& 1 \end{array}\right.\] (i) Bepaal de coëfficiëntenmatrix $A$ van dit stelsel. Toon $A$ op een mooie manier, i.e. met $\sqrt{2}$ in plaats van sqrt(2).
|
|
(ii) Wat is de canonieke vorm van $A$? Wat is dus rang($A$)? Geef ook een kort argument hoe je uit de canonieke vorm de rang kan bepalen. Controleer jouw resultaat door sage direct rang($A$) te laten berekenen.
|
|
(iii) Geef een voorbeeld van een $3 \times 3$ - matrix waarvan de canonieke vorm rang $<3$ heeft.
|
|
(iv) Bepaal de verhoogde matrix $B$ van het bovenstaande stelsel. Toon $B$ op een mooie manier.
|
|
(v) Bereken de canonieke vorm van $B$. We noemen deze matrix $C$. Toon $C$ op een mooie manier! Wat is de rang van $C$?
|
|
(vi) Heeft dit stelsel een oplossing? (De opgave hier is nog niet een oplossing te bepalen, maar te bewijzen, dat er een oplossing bestaat.) Maak voor jouw antwoord gebruik van rang($A$), rang($C$), en de juiste stelling (geef aan, welke) uit de les.
(vii) Bereken de oplossingsverzameling van dit stelsel (waarbij je vrij kan kiezen hoe je dat doet). Toon alle oplossingen.
|
|
Controleer, gebruik makend van bool, dat elke oplossing, die je hebt gevonden, inderdaad een oplossing is.
|
|
(viii) Normaal gezien heb je maar één oplossing van het stelsel gevonden. Bewijs dat deze oplossing uniek is.
|
|
(ix) Gebruik de stelling van Cramer om te verifiëren, dat jouw oplossing $X$ inderdaad een oplossing is. Zet hiervoor $X = (X_1, X_2, X_3)$, bereken det($A$) en bepaal de determinanten $T_i$ zoals gedefinieerd in de cursus (i.e. de determinant van de coëfficiëntenmatrix $A$, waarbij de $i$-de kolom vervangen is door het rechterlid). Bereken dan $X_i = T_i/\det(A)$ voor alle $i$ en controleer daarmee jouw resultaat uit (vii).
|
|
Bespreek de oplossingen van het stelsel met parameter $m \in \mathbb{R}$ : $$\left \{ \begin{array}{rcl}x - y - mz & = & -1 \\x + my - z & = & 1 \\mx + y - z & = & 1\end{array} \right.$$
Tip: Ga na wanneer dit een stelsel van Cramer is, en bepaal dan de unieke oplossing. In alle andere gevallen, ga op zoek of er oplossingen zijn.
|
|
Bekijk de volgende twee vectoren: $v = \left(\begin{array}{c}1\\a^2\end{array}\right)$, waarbij $a$ een complex getal is, en $w = \left(\begin{array}{c}2\\8\end{array}\right)$.
(i) Voor welke waarden van $a$ zijn $v$ en $w$ lineair afhankelijk? Voor welke waarden zijn ze lineair onafhankelijk?
|
|
(ii) Bereken het scalair product van $v$ en $w$ met het commando v.dot_product(w). Voor welke waarden van $a$ is het gelijk aan 0? Hiervan gebruikmakend, bepaal een vector die orthogonaal is met $w$. Teken daarna de twee vectoren in het vlak met het commando plot. Waarschijnlijk lijken de vectoren in uw tekening niet orthogonaal te zijn -- hoe komt dat? Gebruik aspect_ratio=1 om dit op te lossen.
|
|
|
|
(i) Gegeven de vectoren $v = \left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)$ en $w = \left(\begin{array}{c}1\\\sqrt{2}\\a\end{array}\right)$, waarbij $a$ een reëel getal is. Bereken één waarde van $a$ waarvoor de lengte van het vectorieel product van $v$ en $w$ gelijk is aan het product van de lengtes van $v$ en $w$, of equivalent $| v \times w | = | v | \cdot | w |$. Gebruik daarvoor het commando v.cross_product(w).
|
|
(ii) Teken nu de vectoren $v$ en $w$ (waarbij $a$ de hierboven berekende waarde aanneemt) en hun vectorieel product $v \times w$.
|
|
We zien dat de vectoren orthogonaal zijn. Inderdaad is dat altijd zo als $| v \times w | = | v | \cdot | w |$ geldt.
Wat betekent dat voor de oppervlakte van de rechthoek die gevormd wordt door de getekende vectoren $v$ en $w$ (met $a = 1$)?
We beschouwen twee rechten $L_1$ en $L_2$ in $\mathbb{R}^3$ met als parametervergelijkingen: $L_{1} : \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) + k \left(\begin{array}{c}1\\-1\\2\end{array}\right) \quad \text{en} \quad L_{2} : \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\2\\-1\end{array}\right) + l \left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right) $
(a) Toon aan dat $L_1$ en $L_2$ elkaar loodrecht snijden en bepaal het snijpunt.
|
|
(b) Geef de vergelijking van het vlak $\alpha$ (in de vorm $ux+vy+wz+t=0$) dat de rechten $L_1$ en $L_2$ bevat.
|
|
(c) Geef een parametervergelijking van de rechte $L_3$ die beide rechten $L_1$ en $L_2$ loodrecht snijdt. Maak een voorstelling in de ruimte van de richtingsvectoren van de rechten $L_1, L_2$ en $L_3$.
|
|
Gegeven de vectoren $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. Bewijs dat deze vectoren lineair onafhankelijk zijn.
(i) Gebruik de definitie van lineaire afhankelijkheid, om het stelsel te vinden dat dit probleem oplost. Schrijf dit stelsel als één vergelijking in matrixvorm op.
(ii) Bereken de canonieke vorm $C$ van de coëfficiëntenmatrix van dat stelsel.
|
|
(iii) Uit (ii) kunnen we onmiddellijk de rang van $C$ aflezen. Wat kunnen we, gebruikmakend van rang($C$) en het resultaat uit (ii), zeggen over de lineaire onafhankelijkheid van de drie vectoren?
(iv) Definieer, met behulp van het commando .span(), de deelvectorruimte $W$ van ${\mathbb Q}^4$ die door de vectoren $v_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\2\\-1\end{pmatrix}$ en $v_2 = \begin{pmatrix}2\\3\\5\\-4\end{pmatrix}$ opgespand wordt. Laat sage $W$ en zijn eigenschappen weergeven.
|
|
(v) Schrijf $v_1$ als lineaire combinatie van de rijen van de basismatrix uit (iv).
|
|
(vi) Zij $x = 3v_1 - 2v_2$. Toon $x$ en bepaal of $x$ in $W$ ligt.
|
|
(vii) Zij $y = \begin{pmatrix}0\\ \sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ -2\sqrt{2}\end{pmatrix}$. Bepaal of $y$ in $W$ ligt.
|
|
Dat is raar: hoewel $y$ een veelvoud van de tweede rij van de basis matrix van $W$ is, zegt sage ons dat $y$ niet in $W$ ligt. Hoe komt dat?
(viii) Herdefinieer $W_R$ zoals $W$ maar als deelvectorriumte van ${\mathbb R}^4$ (gebruik Symbolic Ring). Is $y$ in $W_R$?
|
|
Gegeven de volgende vier punten in de driedimensionale ruimte $A(2k,0,0), B(2,4,0) , C(-2,4,0)$ en $D(0,0,2)$. Hierbij is $k$ een willekeurige reële parameter.
De punten $P,Q,R$ en $S$ zijn respectievelijk de middens van $[AB], [BC], [CD]$ en $[DA]$.
(a) Bepaal de coördinaten van de punten $P,Q,R$ en $S$. Probeer een functie te schrijven die de coördinaten van het midden bepaalt van een lijnstuk, en gebruik dit.
|
|
(b) Toon aan dat de rechten $PR$ en $QS$ elkaar snijden en bepaal het snijpunt.
|
|
(c) Bepaal de vergelijking van het vlak (in de vorm $ux+vy+wz+t=0$) dat de rechten $PR$ en $QS$ omvat.
|
|
(d) Bepaal de waarde(n) van $k$ waarvoor de rechten $PR$ en $QS$ orthogonaal zijn.
|
|