Probeer de voorbeelden 3.11.1 en 3.11.4 (theoriecursus p.44 en p.47) op te lossen met Sage als volgt:
(i) Maak de matrix $A = \left(\begin{array}{cc}1&2\\0&-1\end{array}\right)$ en bepaal de eigenwaarden van A door de nulpunten van de karakteristieke veelterm te zoeken.
Gebruik A.charpoly() om deze veelterm te bepalen. Bekom je dezelfde oplossingen als je het commando A.eigenvalues() gebruikt?
|
|
(ii) Bepaal bij elke eigenwaarde $\lambda$ de bijhorende eigenvectoren door gebruik te maken van de voorwaarde $A\cdot v=\lambda \cdot v$, waarbij $v=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)$ willekeurig is.
|
|
(iii) Controleer dat het commando A.eigenvectors_right() per eigenwaarde de volgende 3 kenmerken geeft: de eigenwaarde, een eigenvector en de multipliciteit van de eigenwaarde.
( gebruik right omdat de vermenigvuldiging rechts gebeurt: A*v ).
Noot: de multipliciteit van een eigenwaarde is het aantal keer dat deze eigenwaarde oplossing is van de karakteristieke vergelijking ( dus als er 2 gelijke eigenwaarden zijn, spreken we van een eigenwaarde met multipliciteit 2)
Met show geeft dit een duidelijker beeld (maar als je bovenaan Typeset aanvinkt, heb je dit niet nodig)
|
|
(iv) Maak de diagonaalmatrix D met als diagonaalelementen de eigenwaarden van A en maak de matrix M die de eigenvectoren van A (in de juiste volgorde) als kolommen heeft.
Ter controle: het commando A.eigenmatrix_right() geeft ze allebei: links de diagonaalmatrix met de eigenwaarden van A en rechts de matrix waarbij de eigenvectoren van A de kolommen vormen.
Toon nu aan dat matrix A diagonaliseerbaar is , m.a.w. dat er een reguliere matrix M en een diagonaalmatrix D bestaat zodanig dat $A=M^{-1}DM$
|
|
Is de volgende matrix diagonaliseerbaar? $ \left(\begin{array}{ccc}-8&-2&8\\-6&-4&8\\-8&-4&10\end{array}\right)$
|
|
(i) Bepaal de eigenwaarden en bijhorende eigenvectoren van de matrix $B = \left(\begin{array}{cc}3&1\\2&2\end{array}\right)$ .
|
|
(ii) Neem een eigenvector van de grootste eigenwaarde en noem deze $v_1$, doe hetzelfde voor de tweede eigenwaarde en noem deze $v_2$.
Maak een lijst K van vectoren die je bekomt door de 10 producten $B^i \cdot v_1$ met $i=1,2,...,10$ te berekenen. (gebruik een for loop)
Maak een lijst L van vectoren die je bekomt door de 10 producten $B^i \cdot v_2$ met $i=1,2,...,10$ te berekenen. (gebruik een for loop)
|
|
(iii) Plot de vector $v_1$ samen met de vector $B \cdot v_1$ (in het rood) en de vector $B^2 \cdot v_1$ (in het groen). Alle drie de kleuren moeten goed zichtbaar zijn.
Plot daarna in een andere figuur de vector $v_2$ samen met de vector $B \cdot v_2$ (in het rood) en de vector $B^2 \cdot v_3$ (in het groen).
Beschrijf hoe je uit deze plots kan verklaren wat de betekenis is van een eigenwaarde en de bijhorende eigenvector van een matrix.
|
|
|
|
(i) Voor welke reële waarden van a heeft $A = \left(\begin{array}{ccc}a&1&2\\1&2&a\\2&a&1\end{array}\right)$ als eigenwaarde 1?
|
|
(ii) Vul nu $a=-2$ in bij de matrix $A$ uit (i). Bepaal dan alle vectoren $v=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$ die door $A$ op zichzelf worden afgebeeld door de actie $A \cdot v$
|
|
Definieer de reële functie $f(x)=2\ln(3x-7)$
(i) Zoek het voorschrift van de inverse functie van $f$.
Noem de gevonden functie "$inversf$" en plot de grafieken van $f$ en $inversf$ samen in één assenstelsel (voor $x\in [-1,8]$), in twee verschillende kleuren.
|
|
(ii) Stelt de functie $g(x)=\ln(3x-7)^2$ dezelfde functie voor als de functie $f(x)=2\ln(3x-7)$?
Kan je dit verklaren met rekenregels voor logaritmen en het definitiegebied van beide functies?
Teken de grafiek van $g$ (voor $x \in [-4,8]$ ) en vergelijk met de grafiek van $f$.
|
|
Zij $f$ de reële functie gedefinieerd door $$f(x) = (\ln\sqrt{x+3}) \cdot (x^4 + 2x^3 + x^2) \cdot (x^2+1) \cdot (e^{x^2 - 4} - 1).$$
(i) Bepaal ${\rm def}(f)$
(ii) Bepaal alle nulpunten van $f$.
Maak een overzicht in de vorm van een tabel met drie kolommen (deze tabel maak je in de tekstregel of op papier, dus zonder Sage te gebruiken),
waarin staat
|
|
(iii) Toon de grafiek van $f$ tussen (i) $-2,1$ en $0,5$ (in het blauw), en apart (in een nieuw venster) de grafiek van $f$ tussen (ii) $-0,1$ en $2,1$ (in het rood). Gebruik voor beide grafieken thickness='2'. Geef uitleg, waarom we (t.o.v. de nulpunten van $f$) de grafiek zo opgesplitst hebben.
|
|
|
|
(iv) Liggen de volgende punten op de grafiek van $f$ ? Gebruik bool om het antwoord te tonen. Als dat niet altijd lukt: waarom lukt het niet? a) $(0,1)$ b) $(0,0)$ c) $(-1,-1)$ d) $(2,2)$ e) $(-3,0)$
|
|
(v) Is $f$ even?
Is $f$ oneven?
Is $f$ periodiek? Indien ja, geef de periode van $f$ aan, indien neen, bewijs waarom niet.
|
|
(i) Noem de vector $q= \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$. Bepaal het beeld van deze vector onder een rotatie over een hoek van $\pi/2$ in tegenwijzerzin.
Met welke matrix $R$ moet je $q$ vermenigvuldigen zodanig dat $R \cdot q$ het gevraagde beeld is? Geef de matrix $R$ en bepaal het beeld $R \cdot q$.
|
|
(ii) Bepaal achtereenvolgens de beelden van $Rq, R^2q$ en $R^3q $.
Plot deze vectoren (elk in een verschillende kleur) in één figuur samen met vector $q$.
De eindpunten van bovenstaande vectoren liggen op een cirkel met middelpunt $(0,0)$.
Bepaal de straal van de cirkel en teken de cirkel bij de plots van de vectoren in één figuur.
|
|
(iii) Neem $a$ en $b$ variabel.
Noem de matrix $A$ de rotatiematrix om de hoek $a$ in tegenwijzerzin.
Noem de matrix $B$ de rotatiematrix om de hoek $b$ in tegenwijzerzin.
Laat Sage ze allebei tonen.
Bereken daarna het product $AB$ en gebruik je kennis van goniometrische formules om het resultaat te vereenvoudigen.
Is $AB$ ook een rotatiematrix? Zo ja, om welke hoek?
Controleer jezelf door de 2 elementen op de eerste rij van matrix $AB$ te nemen en te vereenvoudigen.
vb. het element op de eerste rij, eerste kolom, van $AB$ is : (A*B)[0,0]; zoek een manier om deze goniometrische formule te vereenvoudigen met Sage.
|
|
(i) Definieer in Sage de vectoren $p_1 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$, $p_2 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ en $p_3 = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$. Maak hiermee een lijst, die je "punten" noemt. Gebruik deze lijst om een rode veelhoek (in het vlak) $P$ te tekenen met de coördinaten van $p_1$, $p_2$ en $p_3$ als hoekpunten.
|
|
(ii) In de volgende code ontbreekt de juiste matrix. Vul bij " A= " de rotatiematrix $A$ van het vlak om hoek $\alpha$ (in tegenwijzerzin) in.
def rot_poly(punten, alpha):
A =
punten2 = []
for punt in punten:
punt2 = A* punt
punten2.append(punt2)
return(punten2)
Oplossing:
|
|
(iii) Gebruik rot_poly om $P$ om de hoek $3\pi/8$ in tegenwijzerzin te roteren. Teken $P$ (in het rood) en zijn rotatie $R$ (in het groen).
|
|
|
|
(iv) Bepaal alle hoeken $\alpha$ zo dat $P$ en zijn rotatie om $\alpha$ in tegenwijzerzin disjunct zijn.
|
|
|
|
(i) Bepaal de periode van de functie $f_1(x)=\cos{3x}$ en teken de grafiek in een interval met als lengte 4 keer de periode.
Is deze functie even of oneven? Ga dit na, niet alleen door de grafiek te beschouwen, maar ook door de definitie te verifiëren.
|
|
|
|
(ii) Schrijf een functie even(f) die nagaat of een gegeven functie f even is of niet, en een functie oneven(f) die nagaat of een functie f oneven is of niet.
Geef dan aan welke van de onderstaande functies even zijn en welke oneven.
\[\begin{array}{lll}
f_1(x) = \cos(3x) &f_5(x)= \exp(1-x^2) &f_9(x) = \sqrt{x} \\[2mm]
f_2(x) = |\sin(x)| &f_6(x)= -x\sin(x) &f_{10}(x)= \sqrt[3]{x}\\[2mm]
f_3(x)= \ln(x) &f_7(x)= \sin(x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{3}\sin(3x) &f_{11}(x)= \cos(x-\frac{\pi}{4})+\sin(x-\frac{\pi}{4})\\[2mm]
f_4(x)=\cos(x-\frac{\pi}{2}) & f_8(x)=2+\cos(x)+\sin(x) &f_{12}(x)=\cos(x-\frac{\pi}{4})
\end{array}\]
|
|
|
|