(i) Noem de vector $q= \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$. Bepaal het beeld van deze vector onder een rotatie over een hoek van $\pi/2$ in tegenwijzerzin.
Met welke matrix $R$ moet je $q$ vermenigvuldigen zodanig dat $R \cdot q$ het gevraagde beeld is? Geef de matrix $R$ en bepaal het beeld $R \cdot q$.
|
|
(ii) Bepaal achtereenvolgens de beelden van $Rq, R^2q$ en $R^3q $.
Plot deze vectoren (elk in een verschillende kleur) in één figuur samen met vector $q$.
De eindpunten van bovenstaande vectoren liggen op een cirkel met middelpunt $(0,0)$.
Bepaal de straal van de cirkel en teken de cirkel bij de plots van de vectoren in één figuur.
|
|
(iii) Neem $a$ en $b$ variabel.
Noem de matrix $A$ de rotatiematrix om de hoek $a$ in tegenwijzerzin.
Noem de matrix $B$ de rotatiematrix om de hoek $b$ in tegenwijzerzin.
Laat Sage ze allebei tonen.
Bereken daarna het product $AB$ en gebruik je kennis van goniometrische formules om het resultaat te vereenvoudigen.
Is $AB$ ook een rotatiematrix? Zo ja, om welke hoek?
Controleer jezelf door de 2 elementen op de eerste rij van matrix $AB$ te nemen en te vereenvoudigen.
vb. het element op de eerste rij, eerste kolom, van $AB$ is : (A*B)[0,0]; zoek een manier om deze goniometrische formule te vereenvoudigen met Sage.
|
|
(i) Zonder het Sage commando .is_hermitian(); te gebruiken, schrijf een functie herm(A) die voor een gegeven complexe matrix $A$ bepaalt of $A$ hermitisch is of niet. De functie moet "True" antwoorden als $A$ hermitisch is en "False" als $A$ niet hermitisch is.
|
|
|
|
Hoe kan je bij matrices $B$ en $D$ onmiddellijk zien, dat ze niet hermitisch kunnen zijn?
(iii) Gebruikmakend van de functie .is_hermitian(), schrijf een functie prop(A) die voor een gegeven matrix $A$ ten eerste de vraag "Is uw matrix hermitisch?" toont met het juiste antwoord, ten tweede de tekst "De karakteristieke veelterm van uw matrix is" gevolgd door de juiste veelterm (in de variabele $x$), ten derde de tekst "De eigenwaarden van uw matrix zijn" gevolgd door de juiste getallen, en ten slotte de tekst "Controle: de nulpunten (en hun multipliciteit) van de karakteristieke veelterm zijn" gevolgd door de correcte nulpunten.
|
|
(iv) Pas de functie prop op de matrices $A, B$ en $C$ toe.
|
|
Normaal gezien krijg je bij het uitvoeren van prop(C) een foutmelding. Hoe kunnen we de functie prop veranderen om voor de matrix $C$ geen foutmelding meer te krijgen?
|
|
Verifieer dat inderdaad $\pi^2/2 - 1/2 \cdot \sqrt{\pi^4 - 2\pi^2 + 5} + 1/2 \approx 0.8886532194887427$ en $\pi^2/2 + 1/2 \cdot \sqrt{\pi^4 - 2\pi^2 + 5} + 1/2 \approx 9.980951181600616$.
|
|
(v) Voor welke waarden van $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \mathbb{C}$ is de matrix $\left(\begin{array}{cccc} z_1 & 5i-3 & 0 & z_4\\ z_2 & z_3&0&0\\0&0&-1&0\\-z_4&0&0&1 \end{array}\right)$ hermitisch?
|
|
(vi) Zonder het Sage commando .is_unitary(); te gebruiken, schrijf een functie unit(A) die voor een gegeven complexe matrix $A$ bepaalt of $A$ unitair is of niet. De functie moet "True" antwoorden als $A$ unitair is en "False" als $A$ niet unitair is.
|
|
Zijn de matrices $A, B, C$ en $D$ -- gedefinieerd in deel (ii) -- unitair?
|
|
(i) Bepaal alle derdemachtswortels van 1 (ook de complexe) . Welke vergelijking moet je daartoe oplossen?
|
|
(ii) Teken alle oplossingen van (i) als vectoren in het complexe vlak.
|
|
(iii) Alle oplossingen van (i) liggen op een cirkel met middelpunt $(0,0)$. Wat is de straal? Teken vervolgens de cirkel bij de figuur uit (ii)
|
|
(iv) Teken de veelhoek (in het oranje) gevormd door de oplossingen als hoekpunten bij de vorige figuren
|
|
(v) Bepaal nu alle derdemachtsortels van $1-i$. Wees kritisch en controleer je oplossingen !
Teken daarna de oplossingen als punten in het complexe vlak, teken de cirkel waar ze alle op liggen en teken de veelhoek gevormd door de oplossingen erbij in het oranje.
Bekijk ook de numerieke benaderingen van de oplossingen.
|
|
Zij $$f(x)=2x-\sqrt{4x^2-3x}$$
(i) Bepaal het definitiegebied van $f$
|
|
(ii) Bepaal $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ en $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$
|
|
(iii) Bepaal de asymptoten van $f$ en bepaal de limiet in de randwaarden van het definitiegebied.
|
|
(iv) Teken de grafiek van $f$ (in het blauw), samen met de gevonden asymptoten (in het rood) in één figuur.
|
|
(i) Zij $f(k) = \sum\limits_{n=1}^k 2^{-n}$, waarbij $k \in \mathbb{N}$, de $k$-de partieelsom van $\sum\limits_{n=1}^\infty 2^{-n}$. Geef de numerieke benaderingen van $f(1)$, $f(10)$, $f(50)$ en $f(100)$. We zien bij $f(100)$ dat sage 1 weergeeft. Toon met Sage dat niettemin $f(100) \ne 1$ geldt.
Als deze reeks zou convergeren, wat zou dan een plausibele reekssom zijn?
|
|
(ii) Convergeren de volgende reeksen? Zoja, bepaal de reekssom. (Noot: $R_2$ is de harmonische reeks, $R_3$ de alternerende harmonische reeks en $R_4$ het probleem van Basel.) $$R_1 = \sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}, \qquad R_2 = \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-1}, \qquad R_3 = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-1}, \qquad R_4 = \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-2}, \qquad R_5 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n-1}$$
|
|
(iii) Bereken $$\ln\left(\lim_{n \to \infty} \left( \exp\left(R_3\right) - 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right) - 9 \cdot \sum_{n=1}^\infty 10^{-n}.$$
|
|
(iv) Bepaal $k$ zodat $$\sum\limits_{n=0}^k 2^{-n} = \sum\limits_{n=k+1}^\infty 2^{-n}.$$
|
|
(v) Geef een voorbeeld van een rij $(a_n)_{n \in\mathbb{N}}$ met $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n = \sqrt{2}$.
|
|