(i) Zij $f(k) = \sum\limits_{n=1}^k 2^{-n}$, waarbij $k \in \mathbb{N}$, de $k$-de partieelsom van $\sum\limits_{n=1}^\infty 2^{-n}$. Geef de numerieke benaderingen van $f(1)$, $f(10)$, $f(50)$ en $f(100)$. We zien bij $f(100)$ dat sage 1 weergeeft. Toon met Sage dat niettemin $f(100) \ne 1$ geldt.
Als deze reeks zou convergeren, wat zou dan een plausibele reekssom zijn?
|
|
(ii) Convergeren de volgende reeksen? Zoja, bepaal de reekssom. (Noot: $R_2$ is de harmonische reeks, $R_3$ de alternerende harmonische reeks en $R_4$ het probleem van Basel.) $$R_1 = \sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}, \qquad R_2 = \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-1}, \qquad R_3 = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-1}, \qquad R_4 = \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-2}, \qquad R_5 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n-1}$$
|
|
(iii) Bereken $$\ln\left(\lim_{n \to \infty} \left( \exp\left(R_3\right) - 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right) - 9 \cdot \sum_{n=1}^\infty 10^{-n}.$$
|
|
(iv) Bepaal $k$ zodat $$\sum\limits_{n=0}^k 2^{-n} = \sum\limits_{n=k+1}^\infty 2^{-n}.$$
|
|
(v) Geef een voorbeeld van een rij $(a_n)_{n \in\mathbb{N}}$ met $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n = \sqrt{2}$ , waarbij $a_k > 0$ voor alle $k$.
|
|
Zij $A$ een matrix, en $A_j$ de matrix die ontstaat door uit $A$ de $j$-de rij en $j$-de kolom te verwijderen. Nu zij $$A = \left(\begin{array}{ccc}1&0&i\\0&2&3\\-i&3&a \end{array}\right),$$ waarbij $a \in \mathbb{C}$.
Bewijs, dat $$-p_\lambda'(A) = p_\lambda(A_1) + p_\lambda(A_2) + p_\lambda(A_3)$$ geldt.
Noot: Sage gebruikt voor de karakteristieke veelterm $p_\lambda(A)$ de definitie $\det(\lambda I - A)$, terwijl wij $\det(A - \lambda I)$ gebruiken. Het verschil is een factor van $(-1)^n$, i.e. $$(-1)^n \cdot \underbrace{p_\lambda(A)}_{\text{Sage def.}} = \underbrace{p_\lambda(A)}_{\text{onze def.}},$$ waarbij $A$ een $n \times n$ matrix is.
|
|
Beschouw $f(x)=x e^{-x^2}$. Deze functie is over gans $\mathbb{R}$ afleidbaar.
(i) Bepaal de eerste en de tweede afgeleide functie van $f$.
|
|
(ii) Bepaal de extreme waarden en de buigpunten van $f$.
Teken de grafiek van $f$ voor $x\in[-4,4]$ in het groen en duid er de speciale punten op aan (extrema in rood, buigpunten in zwart).
|
|
(iii) Bepaal de raaklijn in het snijpunt van $f$ met de $y$-as en teken daarna de raaklijn bij de grafiek.
|
|
(iii) Bepaal een primitieve functie van $f$.
|
|
(iv) Bereken $\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) \,{\rm d}x$ en verklaar het antwoord.
|
|
(v) Bereken de oppervlakte tussen de $x$-as en de functie $f$ voor $x\geq 0$ (Tip: dit kan je berekenen met $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)\,{\rm d}x$ )
|
|
Gegeven de functie $z=f(x,y)=3x^2y+y^3-3x^2-3y^2+2$
(i) Bepaal de partiële afgeleiden $\frac{\partial f}{\partial x}$ en $\frac{\partial f}{\partial y}$.
|
|
De gradiënt levert ze allebei in één keer.
(ii) Bepaal de kritische punten van $f$:
De kritische punten zijn oplossingen van het stelsel: $\left \{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x}& = & 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}&= & 0\end{array} \right.$
|
|
(iii) Bereken de Hessiaan en bepaal vervolgens de extrema en de zadelpunten van $f(x,y)$.
(Noot: in onze cursus is de "Hessiaan" een determinant, voor Sage is het een matrix.)
|
|
(iv) Teken een 3D-plot van $f(x,y)$ en duid daar de kritische punten op aan. Eventuele zadelpunten in het rood, een maximum in het geel en een minimum in het zwart.
|
|
(i) Voor welke waarde van $a \in \mathbb{R}$ is $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x = e \, ?$$
|
|
(ii) De grafiek van de functie $$f(x)=\ln(e^{px}+q) \, \, \text{ met } p,q \in \mathbb{R} \text{ en } p>0$$ heeft een schuine asymptoot met vergelijking $y=2x$ voor $x\rightarrow +\infty$ en een horizontale asymptoot met vergelijking $y=1$ voor $x\rightarrow-\infty$.
Bepaal $p$ en $q$.
|
|