Eigenwaarden en eigenvectoren

Sage bezit een aantal handige procedures voor de berekening van eigenwaarden en eigenvectoren. Een overzicht kan men vinden op http://wiki.sagemath.org/quickref, namelijk quickref-linalg.pdf.

Als eerste voorbeeld beschouwen we een eenvoudige 3x3-matrix:

A = matrix([[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]]); show(A) Aeig = A.eigenvalues(); show(Aeig) parent(Aeig[0])

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right)$

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[0, -0.623475382979800?, 9.623475382979799?\right]$

Algebraic Field

Algebraic Field

De eigenwaarden van $A$ zijn numeriek berekend. We bekijken het matrixtype van $A$:

parent(A);

Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Integer Ring

Full MatrixSpace of 3 by 3 dense matrices over Integer Ring

Door de ring van $A$ te veranderen naar Symbolic Ring (SR) kunnen we Sage dwingen om de eigenwaarden toch symbolisch te berekenen:

A = A.change_ring(SR); Aeig = A.eigenvalues(); show(Aeig) parent(Aeig[0]);

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[-\frac{1}{2} \, \sqrt{105} + \frac{9}{2}, \frac{1}{2} \, \sqrt{105} + \frac{9}{2}, 0\right]$

Symbolic Ring

Symbolic Ring

Maar het is niet altijd zo eenvoudig. Beschouw nu de matrix $B$ uit Oefening 6.1 met $n=6$.

def oef6_matrix(n): m = matrix(n) for i in range(n): for j in range(i+1): m[j,i] = n - i; m[i,j] = n - i; return m; n = 6; B = oef6_matrix(n); B = B.change_ring(SR); #we willen symbolisch rekenen. show(B);

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrrrrr} 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$

B.eigenvalues()

Traceback (click to the left of this block for traceback)
...
ArithmeticError: could not determine eigenvalues exactly using symbolic
matrices; try using a different type of matrix via self.change_ring(),
if possible

Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "_sage_input_7.py", line 10, in <module>
    exec compile(u'open("___code___.py","w").write("# -*- coding: utf-8 -*-\\n" + _support_.preparse_worksheet_cell(base64.b64decode("Qi5laWdlbnZhbHVlcygp"),globals())+"\\n"); execfile(os.path.abspath("___code___.py"))
  File "", line 1, in <module>
    
  File "/var/sage/tmpFNpBXn/___code___.py", line 2, in <module>
    exec compile(u'B.eigenvalues()
  File "", line 1, in <module>
    
  File "sage/matrix/matrix_symbolic_dense.pyx", line 190, in sage.matrix.matrix_symbolic_dense.Matrix_symbolic_dense.eigenvalues (/opt/sage/sage-6.8/src/build/cythonized/sage/matrix/matrix_symbolic_dense.c:2569)
ArithmeticError: could not determine eigenvalues exactly using symbolic matrices; try using a different type of matrix via self.change_ring(), if possible

Sage is niet in staat om de eigenwaarden symbolisch te berekenen. Het symbolisch berekenen van de eigenwaarden van $B$ is voor vele softwarepakketten al reeds te complex. Wil men deze eigenwaarden toch numeriek bepalen, dan kan men in vlottende-puntvoorstelling werken:

BB = B.change_ring(RealField(37)); show(BB)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrrrrr} 6.000000000 & 5.000000000 & 4.000000000 & 3.000000000 & 2.000000000 & 1.000000000 \\ 5.000000000 & 5.000000000 & 4.000000000 & 3.000000000 & 2.000000000 & 1.000000000 \\ 4.000000000 & 4.000000000 & 4.000000000 & 3.000000000 & 2.000000000 & 1.000000000 \\ 3.000000000 & 3.000000000 & 3.000000000 & 3.000000000 & 2.000000000 & 1.000000000 \\ 2.000000000 & 2.000000000 & 2.000000000 & 2.000000000 & 2.000000000 & 1.000000000 \\ 1.000000000 & 1.000000000 & 1.000000000 & 1.000000000 & 1.000000000 & 1.000000000 \end{array}\right)$

We veranderen de ring van de matrix naar RealField(37), een vlottende-puntvoorstelling met 37-bit precisie. Dit komt ongeveer overeen met 10 decimale cijfers na de komma.

We berekenen de eigenwaarden:

eigBB = BB.eigenvalues(); eigBB

__main__:1: UserWarning: Using generic algorithm for an inexact ring,
which will probably give incorrect results due to numerical precision
issues.
[17.20685727, 1.988156537, 0.7747192223, 0.4462147548, 0.3188643843,
0.2651878342]

__main__:1: UserWarning: Using generic algorithm for an inexact ring, which will probably give incorrect results due to numerical precision issues.
[17.20685727, 1.988156537, 0.7747192223, 0.4462147548, 0.3188643843, 0.2651878342]

Ter verificatie: de vergelijking met de analytische uitdrukking voor de eigenwaarden:

eigBB_exact = [N((1/2)*(1-cos((2*k-1)*pi/(2*n+1)))^(-1),prec=37) for k in range(1,n+1)]; eigBB_exact

[17.20685727,
 1.988156537,
 0.7747192223,
 0.4462147548,
 0.3188643843,
 0.2651878342]

[17.20685727,
 1.988156537,
 0.7747192223,
 0.4462147548,
 0.3188643843,
 0.2651878342]

show(matrix(vector(eigBB)).stack(vector(eigBB_exact)).transpose())

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rr} 17.20685727 & 17.20685727 \\ 1.988156537 & 1.988156537 \\ 0.7747192223 & 0.7747192223 \\ 0.4462147548 & 0.4462147548 \\ 0.3188643843 & 0.3188643843 \\ 0.2651878342 & 0.2651878342 \end{array}\right)$

Beschouw opnieuw de 3x3-matrix $A$:

show(A);

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right)$

We berekenen de (rechter)eigenvectoren van $A$:

eigvec = A.eigenvectors_right() show(eigvec)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left[\left(-\frac{1}{2} \, \sqrt{105} + \frac{9}{2}, \left[\left(1,\,-\frac{1}{16} \, \sqrt{105} + \frac{13}{16},\,-\frac{1}{8} \, \sqrt{7} \sqrt{5} \sqrt{3} + \frac{5}{8}\right)\right], 1\right), \left(\frac{1}{2} \, \sqrt{105} + \frac{9}{2}, \left[\left(1,\,\frac{1}{16} \, \sqrt{105} + \frac{13}{16},\,\frac{1}{8} \, \sqrt{7} \sqrt{5} \sqrt{3} + \frac{5}{8}\right)\right], 1\right), \left(0, \left[\left(1,\,-2,\,1\right)\right], 1\right)\right]$

Het resultaat bestaat uit een lijst van triples. Een triple bevat een eigenwaarde, de eigenvector van de eigenwaarde en de algebraïsche multipliciteit van de eigenwaarde.

for i in range(3): show(eigvec[i])

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(-\frac{1}{2} \, \sqrt{105} + \frac{9}{2}, \left[\left(1,\,-\frac{1}{16} \, \sqrt{105} + \frac{13}{16},\,-\frac{1}{8} \, \sqrt{7} \sqrt{5} \sqrt{3} + \frac{5}{8}\right)\right], 1\right)$

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\frac{1}{2} \, \sqrt{105} + \frac{9}{2}, \left[\left(1,\,\frac{1}{16} \, \sqrt{105} + \frac{13}{16},\,\frac{1}{8} \, \sqrt{7} \sqrt{5} \sqrt{3} + \frac{5}{8}\right)\right], 1\right)$

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(0, \left[\left(1,\,-2,\,1\right)\right], 1\right)$

Beschouw voor de algemeenheid ook een matrix die geen basis van eigenvectoren heeft:

A = matrix( [[0,0,1],[0,0,0],[0,0,0]]); show(A)

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

A.eigenvalues()

[0, 0, 0]

[0, 0, 0]

A.jordan_form()

[0 1|0]
[0 0|0]
[---+-]
[0 0|0]

[0 1|0]
[0 0|0]
[---+-]
[0 0|0]

Dus deze matrix A heeft eigenwaarde 0 met algebraische multipliciteit 3 en geometrische multipliciteit 2.

[NumAn] PC-Oef6

2273 days ago by Niels.Neirynck

Eigenwaarden en eigenvectoren