Numerieke Analyse PC-Oefening 5.1: Nulpunten, Newton-Raphson
x = var('x');
f(x) = x - exp(-(1/2)*x)
p = plot(f, (-5,5))
show(p)
|
We gebruiken de ingebouwde methode find_root() om het nulpunt numeriek te bepalen in het interval $[-5,5]$
x_root = f.find_root(-5,5); show(x_root)
parent(x_root) #type van het getal
<type 'float'> <type 'float'> |
Verificatie van het nulpunt:
f(x_root)
0.0 0.0 |
We zullen nu zelf het nulpunt berekenen door Newton-Raphson uit te voeren. We beginnen met de afgeleide van $f$ te bepalen:
f_ = f.diff()
show(f_)
|
|
We stellen de iteratiefunctie op:
phi = x - f(x)/f_(x)
show(phi)
|
|
Digits = 10;
|
|
We kiezen als startpunt $x_0 = -3$.
x_num = N( -3.0 , digits=Digits);
x_old = x_num; #zie de lus verderop.
#plotten van de functie:
p = plot(f, (-3.5,2))
#plotten van x_num (lijn van de x-as naar (x_num,f(x_num)).
l = line([(x_num,0), (x_num,f(x_num))] , rgbcolor=(1,0,0))
#plotten van de raaklijn door (x_num,f(x_num))
raaklijn = plot(f_(x_num)*(x - x_num) + f(x_num), (-3.5,2) , rgbcolor=(0,1,0));
show(raaklijn+p+l)
|
We voeren een Netwon-Raphson iteratiestap uit, we plotten de nieuwe raaklijn en het nieuw punt
x_num = phi(x=x_num)
l = line([(x_num,0), (x_num,f(x_num))] , rgbcolor=(1,0,0))
raaklijn = plot(f_(x_num)*(x - x_num) + f(x_num), (-3.5,2) , rgbcolor=(0,1,0));
show(raaklijn+p+l)
|
We voeren nog een Netwon-Raphson iteratiestap uit, we plotten de nieuwe raaklijn en het nieuw punt:
x_num = phi(x=x_num)
l = line([(x_num,0), (x_num,f(x_num))] , rgbcolor=(1,0,0))
raaklijn = plot(f_(x_num)*(x - x_num) + f(x_num), (-3.5,2) , rgbcolor=(0,1,0));
show(raaklijn+p+l)
|
We vervolledigen het Newton-Raphson algoritme door het uitvoeren van de volgende lus. De lus termineert indien de correctie op x_num in een iteratiestap kleiner is dan eps.
eps = 10^(-15);
while(abs(x_old-x_num) > eps):
x_old = x_num
x_num = phi(x=x_num);
print("iteratiestap: x_num = {}, f(x_num) = {}".format(x_num,f(x_num)));
iteratiestap: x_num = 0.7017101588, f(x_num) = -0.002375624186 iteratiestap: x_num = 0.7034672215, f(x_num) = -2.716333256e-7 iteratiestap: x_num = 0.7034674225, f(x_num) = 0.0000000000 iteratiestap: x_num = 0.7034674225, f(x_num) = 0.0000000000 iteratiestap: x_num = 0.7017101588, f(x_num) = -0.002375624186 iteratiestap: x_num = 0.7034672215, f(x_num) = -2.716333256e-7 iteratiestap: x_num = 0.7034674225, f(x_num) = 0.0000000000 iteratiestap: x_num = 0.7034674225, f(x_num) = 0.0000000000 |
|
|