[NumAn] PC-Oef2

2273 days ago by Niels.Neirynck

Recursie en onstabiele berekeningen

Beschouw opnieuw de integraal uit Oefening 2, m.a.w $I_n = \int_{0}^{1} e^{x} x^{n} \;dx$.
n = 30; 
       
We berekenen $I_n$ exact (symbolisch) in de rij i[n].
i = [ 1 - 1/exp(1) ]; #waarde voor i[0] for k in range(n): i.append(1 - (k+1)*i[k]) show(i) 
        

                                
                            

                            
                                

                                    

                                

                            
                                

                                    
                                

                        

                    		
                

            

        

        


    




  
    

    
    

      Vervolgens berekenen we $I_n$  in vlottende-puntvoorstelling, waarbij we  digits=10 nemen. Hiertoe stellen we de vlottende-puntvoorstelling van $I_0$
 in j[0], en rekenen nu gewoon verder (alle verdere berekeningen gebeuren dan in vlottende-puntvoorstelling).
    





  
    

    
    






    


        
        
        
            
                
            
            
                
Digits = 10;

j = [N( 1 - 1/exp(1)  , digits=Digits)];
for k in range(n):
    j.append(1 - (k+1)*j[k])
show(j) 

            
            

            

        

        
        
        

            

                

                    
                               
                    
                    
                        

                            

                                
                                    

                                
                            

                            
                                

                                    

                                

                            
                                

                                    
                                

                        

                    		
                

            

        

        


    




  
    

    
    






    


        
        
        
            
                
            
            
                
parent(j[n-1])  #controle op het type van het laatste element 

            
            

            

        

        
        
        

            

                

                    
                               
                    
                    
                        

                            

                                
                                    
Real Field with 37 bits of precision

                                
                            

                            
                                

                                    
Real Field with 37 bits of precision

                                

                            
                                

                                    
                                

                        

                    		
                

            

        

        


    




  
    

    
    

      
Om begrijpelijke redenen loopt deze berekening helemaal fout.


Als we trachten te vergelijken met de exacte waarden van $I_n$, is ook nog enige voorzichtigheid nodig. Stel dat we digits op 10 laten staan, en gewoon de vlottende-puntvoorstelling van de eerder berekende exacte waarden i[n] uitschrijven, dan komt er:

    





  
    

    
    






    


        
        
        
            
                
            
            
                
Digits = 10; # !!! pas deze waarde later aan.
i_num = [N(i[k] , digits=Digits) for k in range(n+1)]

show(matrix(vector(i)).stack(vector(i_num)).transpose()); 
# (maak matrix aan met 'i' als rij, plaats 'i_num' eronder als tweede rij, 
# gebruik show() voor weergave van getransponeerde matrix.)
# De eerste kolom zijn nu de exacte waarden, de tweede kolom bevat de omzettingen naar vlottende-puntsgetallen: 

            
            

            

        

        
        
        

            

                

                    
                               
                    
                    
                        

                            

                                
                                    

                                
                            

                            
                                

                                    

                                

                            
                                

                                    
                                

                        

                    		
                

            

        

        


    




  
    

    
    

      
Enig idee waarom dit fout loopt?


Indien niet, kijk even terug naar de exacte uitdrukking voor i[n].


Het is nu duidelijk dat we de waarde van digits moeten verhogen om ook nog voor $I_{30}$  nog enkele beduidende cijfers te behouden. Schat deze waarde van digits, ken ze toe, en bereken hiermee opnieuw de vlottende-puntvoorstelling van de eerder berekende exacte waarden i[n].



 Was jouw schatting toerijkend? 




Tenslotten kan je nu nog even de waarden van j[n] (berekend in vlottende-puntvoorstelling met digits=10) en die van i[n] (exacte berekening, en dan uitgedrukt in vlottende-puntvoorstelling met Digits=...) vergelijken:


    





  
    

    
    






    


        
        
        
            
                
            
            
                
#Kolom1: 'exact' + omzetting naar FP
#Kolom2: via FP-arithmetic.

show(matrix(vector(i_num)).stack(vector(j)).transpose());