(a) De Legendre-veeltermen kan je bepalen met het commando legendre_P(i,x)
Vb. $P_2(x)$ bepaal je met : Legendre_P(2,x)
|
|
Dit verder uitwerken:
|
|
Bepaal nu de Legendreveeltermen $P_0(x), ..., P_5(x)$
|
|
|
|
(b) Verifieer dat de Legendreveeltermen $P_0(x) , ... P_5(x)$ voldoen aan de volgende drieterm-recursiebetrekking : $$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x)$$
|
|
(c) Toon aan dat de Legendre veeltermen ${P_0(x),P_1(x), ...,P_5(x)}$ orthogonaal zijn in $[-1,1]$ , maar niet orthonormaal.
|
|
(e) Verifieer dat $P_3(x)$ en $P_4(x)$ voldoen aan de DV :$(1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0$:
|
|
(f) Gegeven: de functie $f$ in 2 veranderlijken: $\displaystyle f(x,t)= \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}$.
De Taylor-reeksontwikkeling van de functie $f(x,t)$ in $t$ is $$f(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)t^n \, , \, t \in [-1,1],$$ daarin valt op dat de coëfficiënten veeltermen zijn in $x$, nl. de Legendre veeltermen $P_n(x)$
Controleer dit in de Taylor-reeksontwikkeling van de functie $f$ t.e.m. de 5de macht van $t$.
|
|