(a) Bepaal de Chebyshev veeltermen : $T_0(x), T_1(x), ... , T_5(x)$ met het commando chebyshev_T(i,x)
en controleer dat ze voldoen aan de definitie: $T_k(x)= \cos (k \mathrm{Bgcos}(x))$
|
|
|
|
(b) Toon aan dat de Chebyshev veeltermen ${T_0(x),T_1(x), ...,T_5(x)}$ orthogonaal zijn in $ [-1,1]$ t.o.v. de gewichtsfunctie $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, maar niet orthonormaal.
|
|
(c) De Chebyshev veeltermen zijn de coëfficiënten van de Taylor-reeksontwikkeling van de genererende functie :
$$f(x,t)= \frac{1-tx}{1-2xt+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)t^n \, , \, t \in [-1,1]$$
Controleer dit t.e.m. de 5de macht van $t$
|
|
(a) Druk $T_2(x)$ uit in basis $\{P_0(x),P_1(x),P_2(x)\}$: schrijf dus $T_2(x)$ als lineaire combinatie van $P_0(x),P_1(x),P_2(x)$.
M.a.w. bereken $a_0, a_1$ en $a_2$ zodanig dat $T_2(x)=a_0P_0(x)+a_1P_1(x)+a_2P_2(x)$.
Tip: uit $<T_2(x)|P_0(x)> = a_0<P_0(x)|P_0(x)>+a_1<P_1(x)|P_0(x)>+a_2<P_2(x)|P_0(x)>$
volgt dat $$a_0= \frac{<T_2(x)|P_0(x)>}{<P_0(x)|P_0(x)>}$$
Op dezelfde manier kan je $a_1$ en $a_2$ vinden.
Waaraan zijn $a_0, a_1$ en $a_2$ gelijk?
|
|
(b) Druk $P_2(x)$ uit in basis $\{T_0(x),T_1(x),T_2(x)\}$: schrijf dus $P_2(x)$ als lineaire combinatie van $T_0(x),T_1(x),T_2(x)$.
M.a.w. bereken $a_0, a_1$ en $a_2$ zodanig dat $P_2(x)=a_0T_0(x)+a_1T_1(x)+a_2T_2(x)$.
Tip: hou in je berekeningen rekening met het feit dat de veeltermen $\{T_0(x),T_1(x),T_2(x)\}$ orthogonaal zijn t.o.v. de gewichtsfunctie $w(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
|
|
De Laguerre veeltermen worden gedefinieerd door de formule van Rodrigues:
$$L_n(x)=
\frac{e^x}{n!} \frac{\mbox{d}^n}{\mbox{d}x^n} \left(e^{-x}x^n\right)$$
(a) Bereken $L_2(x)$ op twee manieren: door gebruik te maken van de formule van Rodrigues en door gebruik te maken van het Sage commando laguerre(2,x)
|
|
|
|
(b) Bereken $L_2(3x)$
|
|
(c) Bepaal de eerste 5 Laguerre veeltermen $L_0(x), \ldots , L_4(x)$ :
|
|
(d) Definieer voor $ w(x)=e^{-x}$ het inproduct $$ \langle f | g \rangle_w=\int_0^{+\infty}f(x)g(x)w(x)\mathrm{d}x.$$ Bereken $<L_1|L_2>_w $
|
|
(e) Controleer of de eerste 5 Laguerre veeltermen $L_0(x), \ldots , L_4(x)$ orthonormaal zijn t.o.v. $w(x)=e^{-x}$ in $[0,+\infty]$.
|
|
(f) De Laguerre veeltermen zijn de coëfficiënten van de Taylor-reeksontwikkeling van de genererende functie: $$f(x,t)= \frac{1}{1-t}e^{-\frac{tx}{1-t}}=\sum_{n=0}^{\infty}L_n(x)t^n \, , \, t \in [0,+\infty]$$
Controleer dit t.e.m. de 4de macht van $t$
|
|