We willen graag de vergelijking $x^2 - 1 = 0$ oplossen, m.a.w. de nulpunten van $x^2 - 1$ vinden. Het commando solve() helpt ons. Probeer nu de opgave op te lossen door
solve(x**2 - 1 == 0, x) in te tikken.
|
|
Vaak is het nuttig de oplossingen op een grafiek te zien. Daarvoor gebruiken we het commando plot. Tik in:
f(x) = x^2 - 1
sols = solve(f, x)
X = [s.rhs() for s in sols]
p = plot(f, min(X) - 1, max(X) + 1)
for s in X: p = p + point((s,0), pointsize=60, color='red')
p
|
|
Het commando X = [s.rhs() for s in sols] in de derde rij in de code hierboven is nodig omdat Sage de oplossingen als vergelijkingen opschrijft: bv. hierboven staan de nulpunten van $x^2 - 1$ in de vorm [x == -1, x == 1], maar wij hebben slechts het rechterlid van die vergelijkingen nodig, dus gebruiken we rhs(), wat voor right-hand side staat. Tik de commando's sols en X in om het verschil te zien.
Probeer nu te begrijpen wat de andere commando's doen, bv. min(X) - 1 en max(X) + 1, door de code hierboven op verschillende manieren te veranderen: wat gebeurt er bijvoorbeeld als je min(X) in plaats van min(X) - 1 schrijft?
|
|
Bekijk nu de functie $f$ gegeven door $f(x) = -2x^2 - 2x + 12$. Bereken eerst de nulpunten zonder computer. Probeer daarna met Sage de grafiek van $f(x) = -2x^2 - 2x + 12$ tussen $-5$ en $5$ in het rood (Engels: red) te tekenen, en op dezelfde afbeelding ook de nulpunten van $f$ te tonen in het groen (Engels: green). Komt jouw resultaat overeen met de oplossing van Sage?
|
|
Bepaal de twee vierkantswortels (geschreven in de vorm $a+bi$) uit het complex getal $-5-12i$, dus de complexe getallen $z\in\mathbb{C}$ waarvoor $z^2=-5-12i$.
Opmerking: met het commando solve() vind je alle oplossingen, terwijl rechtstreeks sqrt gebruiken slechts 1 oplossing geeft. Vereenvoudigen kan je met simplify_full().
|
|
Controleer dan je gevonden oplossingen door ze te kwadrateren:
|
|
Tenslotte teken je de gevonden vierkantswortels als punten in het complexe vlak.
Dat kan je doen als volgt:
- benoem je oplossingen (vb. w1 en w2)
- definieer een functie die een complex getal omzet naar een punt:
def complex_point(z):
return point((real_part(z), imag_part(z)))
- teken vervolgens de punten door:
complex_point(w1)+complex_point(w2)
|
|
Gebruik het commando show(complex_point(w1)+complex_point(w2), aspect_ratio=1) om de afstanden op de assen in de tekening gelijk te maken.
Los de volgende vergelijking op naar $z \in \mathbb{C} : z^2 - (4+i)z+5+5i=0$. Geef de oplossingen in de vorm $a+bi$.
|
|
Nu gaat het over matrices. Om met Sage een matrix $M = \left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)$ te definiëren (en te tonen), gebruiken we het volgende commando:
M = matrix([[1, 1], [0, 1]])
M
Probeer nu zelf de matrices $A = \left(\begin{array}{cc}1&0\\2&1\end{array}\right)$ en $B = \left(\begin{array}{cc}-1&1\\2&1\end{array}\right)$ in Sage te definiëren.
|
|
Bereken met Sage (i) $A + B$, (ii) $A - B$, (iii) $2A + 3B$, en (iv) $\frac{1}{2} A$ (Is er een verschil tussen 1/2*A en 0.5*A?).
|
|
Sage bevat ook enkele speciale matrices: de eenheidsmatrix $I_n$ van de orde $n$ (commando: identity_matrix(n)), een diagonaalmatrix met alle elementen 0 behalve de hoofddiagonaal, waarin de getallen staan, die jij specificeert (commando: diagonal_matrix([entries])) en zero_matrix(m, n) wat je een $m \times n$ nulmatrix geeft.
Toon zelf met Sage een $3 \times 3$ diagonaalmatrix met de getallen $1,2,3$ op de hoofddiagonaal.
|
|
Zij $B$ de matrix uit Opgave 4. Bekijk nu het volgende stelsel lineaire vergelijkingen:
$$\left\{\begin{array}{l} - x + y = 1\\ 2x + y = 2 \end{array}\right.$$ In matrixvorm hebben we dus $$\left(\begin{array}{cc}-1&1\\2&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$$ Definieer nu de vector $v = \left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$ en bereken de oplossing van het stelsel met behulp van het commando
w = B.solve_right(v)
w
Controleer vervolgens of de gevonden oplossing aan het stelsel voldoet.
|
|
Opmerking: in plaats van w = B.solve_right(v) kan je ook B \ v gebruiken.
Bekijk het volgende stelsel.
\[\left\{\begin{array}{rcl} x_1 \ \ \, -3\,x_2 + x_3 &=& 1\\ \phantom{-3\,x_2} - x_3 &=& 1\\ -x_1 +\sqrt{2}\,x_2 + x_3 &=& 1 \end{array}\right.\] (i) Bepaal de coëfficiëntenmatrix $A$ van dit stelsel. Toon $A$ op een mooie manier, met $\sqrt{2}$ in plaats van sqrt(2).
|
|
(ii) Wat is de canonieke vorm van $A$? (rref()) Wat is dus rang($A$)? Geef ook een kort argument hoe je uit de canonieke vorm de rang kan bepalen. Controleer jouw resultaat door Sage direct rang($A$) te laten berekenen.
|
|
(iii) Geef een voorbeeld van een $3 \times 3$ - matrix waarvan de canonieke vorm rang $<3$ heeft.
|
|
(iv) Bepaal de verhoogde matrix $B$ van het bovenstaande stelsel. Toon $B$ op een mooie manier.
|
|
(v) Bereken de canonieke vorm van $B$. We noemen deze matrix $C$. Toon $C$ op een mooie manier! Wat is de rang van $C$?
|
|
(vi) Heeft dit stelsel een oplossing? (De opgave hier is nog niet een oplossing te bepalen, maar te bewijzen, dat er een oplossing bestaat.) Maak voor jouw antwoord gebruik van rang($A$), rang($C$), en de juiste stelling (geef aan welke) uit de les.
(vii) Bereken de oplossingsverzameling van dit stelsel (waarbij je vrij kan kiezen hoe je dat doet). Toon alle oplossingen.
|
|
Controleer, gebruik makend van bool, dat elke oplossing, die je hebt gevonden, inderdaad een oplossing is.
|
|
(viii) Normaal gezien heb je maar één oplossing van het stelsel gevonden. Bewijs dat deze oplossing uniek is.
|
|
(ix) Gebruik de stelling van Cramer om te verifiëren, dat jouw oplossing $X$ inderdaad een oplossing is. Zet hiervoor $X = (X_1, X_2, X_3)$, bereken det($A$) en bepaal de determinanten $T_i$ zoals gedefinieerd in de cursus (i.e. de determinant van de coëfficiëntenmatrix $A$, waarbij de $i$-de kolom vervangen is door het rechterlid). Bereken dan $X_i = T_i/\det(A)$ voor alle $i$ en controleer daarmee jouw resultaat uit (vii).
Hint: je kan hierbij het commando matrix_from_columns() gebruiken. Hou er rekening mee dat Sage vanaf 0 begint te tellen.
|
|
Stel $a$ een complex getal en bekijk de volgende twee vectoren: $v = \left(\begin{array}{c}1\\a^2\end{array}\right)$ en $w = \left(\begin{array}{c}2\\8\end{array}\right)$.
(i) Voor welke waarden van $a$ zijn $v$ en $w$ lineair afhankelijk? Voor welke waarden zijn ze lineair onafhankelijk?
|
|
|
|
Teken nu de twee vectoren in het vlak met het commando plot. Waarschijnlijk lijken de vectoren in uw tekening niet orthogonaal te zijn -- hoe komt dat? Gebruik aspect_ratio=1 om dit op te lossen.
|
|
|
|
Bepaal alle complexe getallen $z \in \mathbb{C}$ waarvoor geldt dat $z \cdot \bar{z}=4$.
Je kan een willekeurige complex getal ingeven als volgt: kies x en y als variabelen met var('x,y') en maak daarmee een willekeurig complex getal z = x+yi.
Voer de symbolische berekening $z\cdot \bar{z}$ uit.
|
|
Teken dan alle complexe getallen die voldoen aan $z\cdot \bar{z}=4$ in het complexe vlak.
Tip: zet deze voorwaarde om naar een voorwaarde voor x en y en en gebruik het commando implicit_plot om dit te tekenen.
|
|
Bespreek de oplossingen van het stelsel met parameter $m \in \mathbb{R}$ :
$\left \{ \begin{array}{rcl}
x - y - mz & = & -1 \\
x + my - z & = & 1 \\
mx + y - z & = & 1
\end{array} \right.$
Tip: Ga na wanneer dit een stelsel van Cramer is, en bepaal dan de unieke oplossing. In alle andere gevallen, ga op zoek of er oplossingen zijn.
|
|
Gegeven de vectoren $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. Bewijs dat deze vectoren lineair onafhankelijk zijn.
(i) Gebruik de definitie van lineaire afhankelijkheid, om het stelsel te vinden dat dit probleem oplost. Schrijf dit stelsel als één vergelijking in matrixvorm op.
(ii) Bereken de canonieke vorm $C$ van de coëfficiëntenmatrix van dit stelsel.
|
|
(iii) Uit (ii) kunnen we onmiddellijk de rang van $C$ aflezen. Wat kunnen we, gebruikmakend van rang($C$) en het resultaat uit (ii), zeggen over de lineaire onafhankelijkheid van de drie vectoren?
(iv) Definieer, met behulp van het commando .span(), de deelvectorruimte $W$ van ${\mathbb Q}^4$ die door de vectoren $v_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\2\\-1\end{pmatrix}$ en $v_2 = \begin{pmatrix}2\\3\\5\\-4\end{pmatrix}$ opgespand wordt. Laat Sage $W$ en zijn eigenschappen weergeven.
|
|
(v) Schrijf $v_1$ als lineaire combinatie van de rijen van de basismatrix uit (iv).
|
|
(vi) Zij $x = 3v_1 - 2v_2$. Toon $x$ en bepaal of $x$ in $W$ ligt.
|
|
(vii) Zij $y = \begin{pmatrix}0\\ \sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ -2\sqrt{2}\end{pmatrix}$. Bepaal of $y$ in $W$ ligt.
|
|
(viii) Herdefinieer $W_R$ zoals $W$ maar als deelvectorriumte van ${\mathbb R}^4$ (gebruik Symbolic Ring). Is $y$ in $W_R$?
|
|