Met behulp van onderstaande techniek kunnen we lineaire meerstapsmethoden bepalen van een gewenste orde.
Stel dat we het probleem $y'(t) = f(t)$ wensen op te lossen. Hiervoor kunnen we een LMM ontwikkelen:
$$ y_{n+1} + a_1 y_{n} + a_2 y_{n-1} = h\left(b_0 f(t_n+h) + b_1 f(t_n) + b_2 f(t_n -h)\right) $$
We zijn op zoek naar coëfficienten $a_1$, $a_2$, $b_0$, $b_1$ en $b_2$ waarvoor de taylorontwikkeling naar $h$ van
$$ y(t_n+h) + a_1 y(t_n) + a_2 y(t_n-h) - h\left(b_0 y'(t_n+h) + b_1 y'(t_n) + b_2 y'(t_n -h)\right) $$
Deze symbolische uitwerking kunnen we in Sage uitvoeren. We gaan op zoek naar de expliciete 2 staps Adams LMM methode. Dit is de methode van hoogste orde waarvoor $a_2 = 0$.
|
|
Als eerste stellen we de fout die onze methode geeft op:
|
|
Vervolgens nemen we hier de Taylorreeks naar $h$ van:
|
|
Als laatste eisen we dat de eerste paar coefficiënten in deze ontwikkeling $0$ zijn:
|
|
We voeren nog een laatste controle uit om te zien dat deze Adams-Bashforth methode orde 2 heeft:
|
|
Probeer deze zelfde techniek ook eens voor de 2 staps Adams-Moulton methode. Dit is een impliciete methode met $a_2 = 0$.
Bepaal daarnaast ook de 3 staps Adams-Bashforth methode. Expliciet met $a_2 = a_3 = 0$.
Controlleer jouw resultaten aan de hand van https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Families_of_multistep_methods.
|
|
|
|
Op dezelfde wijze kunnen we ook methoden opstellen voor het probleem $y''(t) = f(t)$.
Hierbij neemt de methode dan de vorm aan (met $a_0 = 1$):
$$ \sum_{i=0}^s a_i y_{n+1-i} = h^2\sum_{i=0}^s b_i f(t_{n}+h-ih) $$
Stel de Numerovmethode op. Deze is impliciet met maximale orde. Gebruik hiervoor dezelfde stappen als daarnet, merk op dat nu $f(t) = y''(t)$ en de error krijgt een factor $h^2$.
|
|
|
|
Beschouw de volgende vergelijking
$$ y''(t) = f(t, y) \text{.}$$
Wanneer $f(t, y) = f(t)$ wordt dit de Poissonvergelijking genoemd.
We zullen een randwaarde probleem bij deze vergelijking oplossen. Als eerste maken we een discretisatie in $n$ intervallen, dus de punten $t_0, t_1, \dots, t_n$.
Met behulp van de Numerov methode kunnen we een verband leggen tussen de onbekenden $y_1, y_2, \dots, y_{n-1}$:
$$y_{k+1} - 2y_k + y_{k-1} = \frac{h^2}{12} \left(f(t_{k+1}, y_{k+1}) + 10 f(t_{k}, y_k) + f(t_{k-1}, y_{k-1})\right)\qquad\text{voor $k=1,2,\dots, n-1$}$$
De oplossing van dit stelsel ($n-1$ onbekenden, $n-1$ vergelijkingen) benadert de oplossing voor het randwaardenprobleem.
Stel $f(t, y) = \cos(t)$, $t_0 = 0$ en $t_n = \pi$, als randvoorwaarden stellen we $y_0 = y(t_0) = 0$ en $y_n = y(t_n) = 0$. Vergelijk oplossingen voor verschillende waarden van $n$. De exacte oplossing is $y(t) = 1 -\frac{2 \, t}{\pi} - \cos\left(t\right)$.
Doe dezelfde oefening ook met $f(t, y) = \sin(4t)y$ en $y(0) = y(\pi) = 1$.
|
|
|
|
Het probleem
$$ y''(t) = \sin(4t)y \qquad \text{met $y(0) = y(\pi) = 1$}$$
kunnen we ook met behulp van shooting oplossen. Hiervoor is het nodig om het probleem te vertalen naar een stelsel eerste orde differentiaalvergelijkingen:
$$\begin{pmatrix}y(t)\\y'(t)\end{pmatrix}' = \begin{pmatrix}y'(t)\\ f(t,y)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y'(t)\\ \sin(4t)y\end{pmatrix}$$
Dan kan men gebruik maken van de volgende functie om het beginwaarde probleem op te lossen.
|
|
Als beginvoorwaarde neemt men $y(0) = 1$ en voor $y'(0)$ probeert men verschillende waarden tot $y(\pi) = 0$ blijkt.
|
|
Experimenteer met verschillende waarden voor $n$.
|
|
|
|
Deze shooting techniek kan men in een gewijzigde vorm ook toepassen op de Schrödingervergelijking:
$$y''(t) = (V(t) - E) y(t)\text{.}$$
Voor een onbekende $E$, een gegeven $V$ en gegeven randvoorwaarden.
Kies $V(t) = 2\cos(2t)$ en $y(-\frac{\pi}{2}) = y(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Pas shooting toe:
|
|
|
|
|
|