[CHEMSTRUC]potentiaalput

1844 days ago by Sofie.VanDamme


Voor het uitwerken van dit werkcollege mag je gerust een Sage worksheet gebruiken. De focus van deze werkcolleges ligt niet op het uitwerken van integralen of afgeleiden, dan wel op het inzicht dat je verkrijgt in de oplossingen. Zorg dus steeds dat je een verhaal kan ophangen aan de oplossingen die je verkrijgt in deze worksheet.

 

 

Oefening 1.1 : Deeltje in een oneindig diepe potentiaalput

Vraag 4.
In de vorige vragen ben je tot een conclusie gekomen hoe de (genormaliseerde) functies er in dit geval moeten uitzien. Deze eigenfuncties zullen we verder onderzoeken
var('a','hbar','m') var('n',domain='integer') var('n2',domain='integer') functie_even(x,n) = (a)**(-1/2)*sin((n)*pi*x/(2*a)) functie_oneven(x,n) = (a)**(-1/2)*cos((n)*pi*x/(2*a)) meetwaarden(n) = n^2*pi^2*hbar^2/(8*m*a^2) print functie_even(x,n) print functie_oneven(x,n) print meetwaarden(1) 
       

Alle functies zijn genormaliseerd, dus hier onderzoeken we of ze onderling orthogonaal staan. We moeten drie gevallen beschouwen.
even_met_oneven(x, n,n2) =functie_even(x,n)*functie_oneven(x,n2) oneven_met_oneven(x,n,n2) =functie_oneven(x,n)*functie_oneven(x,n2) even_met_even(x,n,n2) = functie_even(x,n)*functie_even(x,n2) print "even functie met oneven functie : ",integral(even_met_oneven(x,2,1),x,-a,a) print "oneven functie met oneven functie : ",integral(oneven_met_oneven(x,1,1),x,-a,a) print "even functie met even functie : ", integral(even_met_even(x,2,4),x,-a,a) 
       

Vraag 5. De verwachtingswaarde van de positie x
# opnieuw moeten we twee gevallen onderzoeken positie_even = integral(functie_even(x,n)*x*functie_even(x,n),x,-a,a) positie_oneven = integral(functie_oneven(x,n)*x*functie_oneven(x,n),x,-a,a) print "gemiddelde meetwaarde positie even functie: ", positie_even print "gemiddelde meetwaarde positie oneven functie:", positie_oneven 
       

Vraag 6. De verwachtingswaarde van het moment $p_x$
# opnieuw moeten we twee gevallen onderzoeken, maar eerst moeten we de afgeleide van de functie nemen dff_functie_even(n) = diff(functie_even(x,n),x).simplify_full() dff_functie_oneven(n) = diff(functie_oneven(x,n),x).simplify_full() moment_even = integral(dff_functie_even(n)*functie_even(x,n),x,-a,a) moment_oneven = integral(dff_functie_oneven(n)*functie_oneven(x,n),x,-a,a) print "gemiddelde meetwaarde moment : ", moment_even print "gemiddelde meetwaarde moment : ", moment_oneven 
       

Vraag 7. De gemiddelde kwadratische afwijking staat gelijk aan $\left\langle{A^2}\right\rangle - \left\langle{A}\right\rangle^2$. De gemiddelde meetwaarden zijn reeds bekend uit vragen 5 en 6.
# de gemiddelde meetwaarde van de kwadratische operatoren, positie en moment. # positie positie_even2(n) = integral(functie_even(x,n)*x**2*functie_even(x,n),x,-a,a).simplify_full() positie_oneven2(n) = integral(functie_oneven(x,n)*x**2*functie_oneven(x,n),x,-a,a).simplify_full() print "gemiddelde meetwaarde x**2 : ", positie_even2(n) #print "gemiddelde meetwaarde x**2 : ", positie_oneven2(n) # moment dff2_functie_even(n) = diff(diff(functie_even(x,n),x),x).simplify_full() dff2_functie_oneven(n) = diff(diff(functie_oneven(x,n),x),x).simplify_full() moment_even2(n) = -hbar**2*integral(dff2_functie_even(n)*functie_even(x,n),x,-a,a) moment_oneven2(n) = -hbar**2*integral(dff2_functie_oneven(n)*functie_oneven(x,n),x,-a,a) print "gemiddelde meetwaarde p_x**2 : ", moment_even2(n) #print "gemiddelde meetwaarde p_x**2 : ", moment_oneven2(n) 
       

Oefening 1.2 : Verwachtingswaarden 

Vraag 1. Geldige golffunctie voldoet aan de continuiteitsvoorwaarden.
# L = 4, 2a = 4, a = 2 f1(x) = piecewise([[(-4,-2.1),0], [[-2,2],cos(pi*x/2)], [(2.1,4),0] ] ) f2(x) = piecewise([[(-4,-2.0001),0], [[-2,2],(2**2 - x**2)/4], [(2.0001,4),0]]) f3(x) = piecewise([[(-4,-1.0001),0], [[-1,1],(sin(4*pi*x/4))],[(1.0001,4),0]]) f4(x) = piecewise([[(-4,-2.0001),0],[[-2,2],(tan(pi*x/2))],[(2.0001,4),0]]) g = Graphics() g = plot( f1(x), (x,-4, 4),color='green',legend_label='functie 1' ) g += plot (f2(x), (x,-4, 4), color= 'red', legend_label = 'functie 2' ) g += plot (f3(x), (x,-4, 4), color= 'blue', legend_label = 'functie 3') g += plot (f4(x), (x,-0.5,0.5), color='brown', legend_label= 'functie 4') g.show() 
       

Vraag 2. Indien voldaan aan de continuiteitsvoorwaarde, onderzoek de norm van de functies
var('a',domain='positive') functie1(a,x) = a**2 - x**2 functie2(a,x) = sin(4*pi*x/(2*a)) norm1 = integral(functie1*functie1,x,-a,a) norm2 = integral(functie2*functie2,x,-a/2,a/2) functie1N(a,x) = functie1/sqrt(norm1) functie2N(a,x) = functie2/sqrt(norm2) print 'functie1:',(1/sqrt(norm1)).simplify_full() print 'functie2:',1/sqrt(norm2).simplify_full() 
       

Vraag 3. De kans om een bepaalde energie-waarde te meten staat gelijk aan de kans om in een eigenfunctie terecht te komen : reken de probabiliteitsamplitudes uit voor elk van de mogelijke toestanden (even en oneven) voor alle potentieel well behaved functies. 
probf1_oneven(n,a) =(functie1N(a,x)*functie_oneven(x,n)) probf1_even(n,a) =(functie1N(a,x)*functie_even(x,n)) probf2_oneven(n,a) =(functie2N(a,x)*functie_oneven(x,n)) probf2_even(n,a) =(functie2N(a,x)*functie_even(x,n)) print 'probability function1, odd:', integral(probf1_oneven(n,a),x,-a,a).simplify_full() print 'probability function1, even:', integral(probf1_even(n,a),x,-a,a).simplify_full() print 'probability function2, odd:', integral(probf2_oneven(n,a),x,-a/2,a/2).simplify_full() print 'probability function2, even except n=4:', integral(probf2_even(n,a),x,-a/2,a/2).simplify_full() print 'probability function2, even n=4:', integral(probf2_even(4,a),x,-a/2,a/2).simplify_full() 
       
print 'De kans om de eerste energie-waarde uit te komen' print ' voor de eerste functie :', integral(probf1_oneven(1,a),x,-a,a).simplify_full().n()^2 print ' voor de tweede functie :', integral(probf2_oneven(1,a),x,-a/2,a/2).simplify_full().n()^2 print 'De kans om de tweede energie-waarde uit te komen' print ' voor de eerste functie :', integral(probf1_even(2,a),x,-a,a).simplify_full().n()^2 print ' voor de tweede functie :',integral(probf2_even(2,a),x,-a/2,a/2).simplify_full().n()^2 
       

Visualisatie van de bijdrage van de eigenfuncties in de well behaved trial functies
# L = 4, 2a = 4, a = 2 norma = integral((2**2 - x**2)*(2**2 - x**2),x,-2,2) print(norma) normb = integral(sin(pi*x)*sin(pi*x),x,-1,1) print(normb) functie_even(x,n,a) = (a)**(-1/2)*sin((n)*pi*x/(2*a)) functie_oneven(x,n,a) = (a)**(-1/2)*cos((n)*pi*x/(2*a)) f1(x) = piecewise([[(-4,-2),0], [[-2,2],functie_oneven(x,1,2)], [(2,4),0] ] ) f2a(x) = piecewise([[(-4,-2),0], [[-2,2],functie_even(x,2,2)], [(2,4),0]]) f1b(x) = piecewise([[(-4,-2),0], [[-2,2],functie_oneven(x,3,2)], [(2,4),0] ] ) f2(x) = piecewise([[(-4,-2),0], [[-2,2],functie_even(x,4,2)], [(2,4),0]]) f3(x) = piecewise([[(-4,-2),0], [[-2,2],(2**2 - x**2)/sqrt(norma)],[(2,4),0]]) f4(x) = piecewise([[(-4,-1),0],[[-1,1],sin(pi*x)/sqrt(normb)],[(1,4),0]]) g = Graphics() g = plot( f1(x), (x,-4, 4),color='green',linestyle="-",legend_label='functie n=1' ) g += plot (f2a(x), (x,-4, 4), color= 'green',linestyle="--", legend_label = 'functie n=2' ) g += plot (f1b(x), (x,-4, 4), color= 'green',linestyle="-.", legend_label = 'functie n=3' ) g += plot (f2(x), (x,-4, 4), color= 'green', linestyle=":",legend_label = 'functie n=4' ) g += plot (f3(x), (x,-4, 4), color= 'blue', legend_label = 'trial functie 1') g += plot (f4(x), (x,-4,4), color='red', legend_label= 'trial functie 2') g.show() 
       

Vraag 4 : Verwachtingswaarde van positie
probf1_pos(n,a) =(functie1N(a,x)*x*functie1N(a,x)) probf2_pos(n,a) =(functie2N(a,x)*x*functie2N(a,x)) print 'Gemiddelde meetwaarde positie function1:', integral(probf1_pos(n,a),x,-a,a).simplify_full() print 'Gemiddelde meetwaarde positie function2:', integral(probf2_pos(n,a),x,-a/2,a/2).simplify_full() 
       

Vraag 4 : Verwachtingswaarde van moment
probf1_mom(n,a) =(functie1N(a,x)*diff(functie1N(a,x),x)) probf2_mom(n,a) =(functie2N(a,x)*diff(functie2N(a,x),x)) print 'Gemiddelde meetwaarde moment function1:', -hbar*integral(probf1_mom(n,a),x,-a,a).simplify_full() print 'Gemiddelde meetwaarde moment function2:', -hbar*integral(probf2_mom(n,a),x,-a/2,a/2).simplify_full() 
       

Vraag 4 : verwachtingswaarde gekwadrateerde moment
probf1_mom2(n,a) =(functie1N(a,x)*diff(diff(functie1N(a,x),x),x)) probf2_mom2(n,a) =(functie2N(a,x)*diff(diff(functie2N(a,x),x),x)) print 'Gemiddelde meetwaarde moment^2 function1:', -hbar^2*integral(probf1_mom2(n,a),x,-a,a).simplify_full() print 'Gemiddelde meetwaarde moment^2 function2:', -hbar^2*integral(probf2_mom2(n,a),x,-a/2,a/2).simplify_full() 
       

Vraag 4 : Gemiddelde meetwaarde Hamiltoniaan
print 'Gemiddelde meetwaarde energie function1:', -hbar^2/(2*m)*integral(probf1_mom2(n,a),x,-a,a).simplify_full() print 'Gemiddelde meetwaarde energie function2:', -hbar^2/(2*m)*integral(probf2_mom2(n,a),x,-a/2,a/2).simplify_full()