Het stelsel dat we krijgen:
$$ \begin{cases}1 = A_1 + A_2 \\ \frac{1}{4} = A_1 x_1 + A_2 x_2 \\ \frac{1}{9} = A_1 x^2 + A_2 x^2 \\ \frac{1}{16} = A_1 x^3 + A_2 x^3 \end{cases}$$
Dit met de hand oplossen is helemaal niet eenvoudig. Met Sage is dit een kleinigheid:
|
|
Om dit wel met de hand te kunnen oplossen kan men gebruik maken van p108 (7.53):
We zijn op zoek naar de nulpunten van de n-de graads orthogonale veelterm met de gegeven gewichtsfunctie. Dus:
$$\begin{align}\phi_0 &= 1\\\phi_1 &= x + a\\\phi_2 &= x^2 + bx + c\end{align}$$
Hierbij zijn $a$, $b$ en $c$ onbekenden die we kunnen bepalen door $\int_0^1 \phi_i\phi_j \ln(\frac{1}{x})\,dx = 0$ te eisen voor $i \neq j$.
Dit is met de hand zeer goed mogelijk, in Sage kan dit natuurlijk ook:
|
|
|
|
|
|
|
|
Deze waarden zijn dan net dezelfde als $x_1$ en $x_2$.
|
|