H2: Differentiaalvergelijkingen

Bekijk http://doc.sagemath.org/html/en/reference/calculus/sage/calculus/desolvers.html voor een overzicht van mogelijke oplossingsmethoden voor differentiaalvergelijkingen (ODE= ordinary differential equation).

Opgave 1

Bepaal de meest algemene oplossing van de DV van 1e orde  $y'(x) - 3y(x)=x$ .

Laat zien welke oplossingsmethode Sage daarvoor gebruikt.

Vereenvoudig de bekomen oplossing tot de oplossing uit de cursus, nl: $y(x)=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}+Ce^{3x}$

Opgave 2

Bepaal de meest algemene oplossing van de DV van 1e orde  $y'(x) - \tan(x)y(x)=\cos(x)-2x\sin(x)$ :

En bepaal vervolgens de unieke oplossing waarvoor $y(\frac{\pi}{6})=0$ :

ics - (optional) the initial or boundary conditions
for a first-order equation, specify the initial $x$ and $y$
for a second-order equation, specify the initial $x$, $y$, and $dy/dx$, i.e. write $[x0,y(x0),y′(x0)]$
for a second-order boundary solution, specify initial and final $x$ and $y$ boundary conditions, i.e. write $[x0,y(x0),x1,y(x1)].$

Opgave 3

Bepaal de unieke oplossing van de  DV $a^2xy'(x)+y(x)(x^2-a^2)=0$ waarvoor $y(1)=\frac{1}{a^2}e^{-\frac{1}{2a^2}}$. Je mag hierbij aannemen dat $x>0$ en dat $a>0$.

For equations involving more variables we specify an independent variable:

Vergeet niet om de gemaakte veronderstellingen ongedaan te maken:

Opgave 4

Bepaal de A.O. van de DV: $y''-2y'+3y=x^3$

Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem: $y''-2y'+3y=x^3$ met $y(0)=y'(0)=0$. 

Opgave 5

Bepaal de oplossing van de DV van de 2de orde: $y''(x)-3y'(x)+2y(x)=xcos(x)+e^x$   waarbij  $y(0)=1$ en $y'(0)=0$.

Vergelijk dit met de oplossing uit de oefeningencursus: $y(x)=C_1e^x+C_2e^{2x}+(\frac{1}{10}x-\frac{3}{25})\cos(x)+(-\frac{3}{10}x-\frac{17}{50})\sin(x)-xe^x$ met $C_1=1$ en $C_2=\frac{3}{25}$. 

Opgave 6

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking $y'''-4y"+3y'=(x+1)(\cos(x)+e^x)$ :

• desolve() - Compute the “general solution” to a 1st or 2nd order ODE via Maxima.

Bepaal de A.O. van die differentiaalvergelijking met verlaging van de orde (dus naar $y'$) en om daarna $y$ te bepalen.

Opgave 7

Gegeven het stelsel lineaire 1ste orde differentiaalvergelijkingen:

$\begin{cases} y'_1&=y_1+2y_2\\y'_2&=3y_1+2y_2 \end{cases} $   met $y_1(0)=0$ en $y_2(0)=-4$.

a) Bepaal de oplossing van dit stelsel lineaire 1ste orde differentiaalvergelijkingen als volgt:

• Schrijf dit stelsel als een matrixvergelijking Y ' = A Y en definieer de matrix A in Sage
• Bepaal de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van A. Gebruik hiervoor de commando's  A.eigenvalues() en A.eigenmatrix_right()
• De oplossing van het stelsel is dan Y = TZ, waarbij T de matrix is met als kolommen de eigenvectoren van de eigenwaarden $\lambda_1, \lambda_2$ en Z de kolommatrix $\left( \begin{array}{c}C_1e^{\lambda_1x}\\ C_2e^{\lambda_2x}\end{array}\right)$.

b) Bepaal met onderstaande methode van Sage de oplossing van dit stelsel.

Opgave 8

De 2e orde differentiaalvergelijking $2y''+5y'-3y=0$ met beginvoorwaarden $y(0)=-4$ en $y'(0)=9$ kan geschreven worden als het stelsel 1e orde differentiaalvergelijkingen $$\begin{cases} y'_1&=y_2\\y'_2&=\frac{3}{2}y_1-\frac{5}{2}y_2 \end{cases} $$ met $y_1(0)=-4$ en $y_2(0)=9$. (ga dit na)

Los met Sage zowel de 2e orde differentiaalvergelijking als het stelsel 1e orde differentiaalvergelijkingen op en controleer dat de oplossingen wel degelijk overeenkomen.