A) Gegeven de functie $z=f(x,y)=x^2+y^2\sin{(xy)}$. (oef. nr.1a)
De gradiënt is de vector $(2x+y^3\cos(xy))\vec{e}_x+(2y\sin(xy)+y^2\cos(xy)x)\vec{e}_y$.
Controleer dit met volgend commando:
|
|
Of door zelf de vector te maken: $\displaystyle \left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ met het commando:
|
|
B) Schrijf zelf een definitie in Sage die de laplaciaan berekent van een functie f.
Vb. als volgt (vul aan ....)
def laplacian(z) :
return ....
En test of je met die definitie het juiste resultaat bekomt voor oef. 1(a), nl.: $(\Delta f=) 2-y^4\sin(xy)+2\sin(xy)+4y\cos(xy)x-y^2\sin(xy)x^2$
Als je dit niet lukt via een definitie, bereken dan $\Delta f$ rechtstreeks door de nodige formules te gebruiken.
|
|
|
|
C) Controleer of de voorgaande commando's je ook voor de volgende functie het juiste resultaat geven: $f(x,y,z) = \ln(x^2 + 2y^2 - 3z^2)$ (oef.nr.1(e))
nl.:
$\displaystyle \nabla f =\left(\frac{2x}{x^2+2y^2-3z^2},\frac{4y}{x^2+2y^2-3z^2},-\frac{6z}{x^2+2y^2-3z^2}\right)$ en $\displaystyle \Delta f =\frac{-4x^2-16y^2-36z^2}{(x^2+2y^2-3z^2)^2}$
|
|
|
|
A) Gegeven de functie $\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = e^{xy}\vec{e}_x + \cos(xy)\vec{e}_y + \sin(xz^2)\vec{e}_z$. (oef. nr.2d)
Dat kan als volgt:
|
|
Schrijf zelf een definitie in Sage die de divergentie berekent van een vector $\vec{F}$.
Vb. als volgt (vul aan ....)
def div(F) :
return ....
En test of je met die definitie het juiste resultaat bekomt voor oef. 2(d), nl.: $(\mbox{Div} \vec{F}=) \;ye^{xy}-\sin(xy)x + 2\cos(xz^2)xz$
Als je dit niet lukt via een definitie, bereken dan $\mbox{Div} \vec{F}$ rechtstreeks door de nodige formules te gebruiken.
|
|
B) Schrijf een definitie in Sage die de rotor berekent van de vector $\vec{F}$, nl. $\displaystyle \left(\frac{\partial F_z }{\partial y}-\frac{\partial F_y }{\partial z},-\frac{\partial F_z }{\partial x}+\frac{\partial F_x }{\partial z},\frac{\partial F_y }{\partial x}-\frac{\partial F_x }{\partial y}\right)$
def rot(F) :
return ....
En test of je met die definitie het juiste resultaat bekomt voor oef. 2(d), nl.: $(\mbox{rot} \vec{F}=) \;(0,-\cos(xz^2)z^2,-\sin(xy)y-xe^{xy})$
Als je dit niet lukt via een definitie, bereken dan $\mbox{rot} \vec{F}$ rechtstreeks door de nodige formules te gebruiken.
|
|
|
|
C) Controleer of de voorgaande commando's je ook voor de volgende vectorfunctie het juiste resultaat geven: $\vec{F} = (z + \sin y)\vec{e}_x - (z - x\cos y)\vec{e}_y$ (oef.nr.2(c))
nl.: $\mbox{Div} \vec{F}=-x\sin{y}$ en $\mbox{rot} \vec{F}=(1,1,0)$
|
|
|
|