(i) We willen graag de vergelijking $x^2 - 1 = 0$ oplossen, m.a.w. de nulpunten van $x^2 - 1$ vinden. Het commando solve() helpt ons. Probeer nu de opgave op te lossen door solve(x^2 - 1 == 0, x) in te tikken.
|
|
(ii) Vaak is het nuttig de oplossingen op een grafiek te zien. Daarvoor gebruiken we het commando plot. Kopieer volgende commando's naar onderstaande cel:
f(x) = x^2 - 1
sols = solve(f, x)
X = [s.rhs() for s in sols]
p = plot(f, min(X) - 1, max(X) + 1)
for s in X: p = p + point((s,0), pointsize=60, color='red')
p
|
|
Het commando X = [s.rhs() for s in sols] in de derde rij in de code hierboven is nodig omdat Sage de oplossingen als vergelijkingen opschrijft: bv. hierboven staan de nulpunten van $x^2 - 1$ in de vorm [x == -1, x == 1], maar wij hebben slechts het rechterlid van die vergelijkingen nodig, dus gebruiken we rhs(), wat voor right-hand side staat. Tik de commando's sols en X in om het verschil te zien.
Probeer nu te begrijpen wat de andere commando's doen, bv. min(X) - 1 en max(X) + 1, door de code hierboven op verschillende manieren te veranderen: wat gebeurt er bijvoorbeeld als je min(X) in plaats van min(X) - 1 schrijft?
|
|
(iii) Bekijk nu de functie $f$ gegeven door $f(x) = -2x^2 - 2x + 12$. Bereken eerst de nulpunten zonder computer. Probeer daarna met Sage de grafiek van $f(x) = -2x^2 - 2x + 12$ tussen $-5$ en $5$ in het rood (Engels: red) te tekenen, en op dezelfde afbeelding ook de nulpunten van $f$ te tonen in het groen (Engels: green). Komt jouw resultaat overeen met de oplossing van Sage?
|
|
In vorige oefening werden een aantal variabelen ingevoerd (sols, X, p, ...). Om te vermijden dat we per ongeluk met die oude variabelen werken is het een goed idee om bij het begin van elke nieuwe oefening het commando reset() te gebruiken; alle ingevoerde variabelen worden hierdoor verwijderd.
|
|
Een poging om de variabele sols op te roepen geeft dan ook een foutmelding:
|
|
(i) Bepaal de twee vierkantswortels (geschreven in de vorm $a+bi$) uit het complex getal $-5-12i$, dus de complexe getallen $z\in\mathbb{C}$ waarvoor $z^2=-5-12i$.
Opmerking: met het commando solve() vind je alle oplossingen, terwijl rechtstreeks sqrt gebruiken slechts 1 oplossing geeft. Vereenvoudigen kan je met simplify_full().
|
|
(ii) Controleer dan je gevonden oplossingen door ze te kwadrateren:
|
|
|
|
(iii) Tenslotte teken je de gevonden vierkantswortels als punten in het complexe vlak.
P1=point((real_part(Z[0]), imag_part(Z[0])))
P2=point((real_part(Z[1]), imag_part(Z[1])))
P1+P2
|
|
Gebruik het commando show(P1+P2, aspect_ratio=1) om de ijk van de assen in de tekening gelijk te maken.
|
|
Nu gaat het over matrices. Om met Sage een matrix $M = \left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)$ te definiëren (en te tonen), gebruiken we het volgende commando (let op de haken!):
M = matrix( [[1,1],[0,1]] )
M
(i) Probeer nu zelf de matrices $A = \left(\begin{array}{cc}1&0\\2&1\end{array}\right)$ en $B = \left(\begin{array}{cc}-1&1\\2&1\end{array}\right)$ in Sage te definiëren.
|
|
(ii) Bereken met Sage:
Is er een verschil tussen 1/2*A en 0.5*A?
|
|
(iii) Sage bevat ook enkele speciale matrices:
Toon zelf met Sage een $3 \times 3$ diagonaalmatrix met de getallen $1,2,3$ op de hoofddiagonaal.
|
|
Zij $B$ de matrix uit Opgave 3. Bekijk nu het volgende stelsel lineaire vergelijkingen:
$$\left\{\begin{array}{l} - x + y = 1\\ 2x + y = 2 \end{array}\right.$$ In matrixvorm hebben we dus $$\left(\begin{array}{cc}-1&1\\2&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$$
Definieer nu de vector $v = \left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$ met behulp van het commando vector().
|
|
Indien je nu Sage de zonet gedefinieerde vector $v$ laat tonen, wordt een rijvector $(1,2)$ getoond. Merk op dat in de cursus een vector altijd een kolomvector is!
De vector $v$ lijkt een rijvector te zijn, maar achter de schermen rekent Sage met $v$ alsof het een rijvector of een kolomvector is, naargelang de situatie. Probeer maar eens $B\cdot v$ en $v \cdot B$ te berekenen, Sage geeft voor beide een oplossing. Voor ons zijn de gebruikte vectoren altijd kolomvectoren.
|
|
Bereken nu de oplossing van het stelsel met behulp van het commando
w = B.solve_right(v)
w
|
|
|
|
Opmerking: in plaats van w = B.solve_right(v) kan je ook B \ v gebruiken.
Beschouw de matrix
$$A=\left(\begin{array}{cccc}1&0&x&0\\x&0&1&0\\0&1&0&x\\0&x&1&0\end{array}\right)$$
(i) Bepaal alle $x\in\mathbb{R}$ zodat $\det(A)\neq0$.
|
|
(ii) Is de rang van $A$ afhankelijk van $x$? Zoja, geef twee waarden voor $x$ die een verschillende rang voor $A$ opleveren. Het commando A.subs(x=value) kan misschien handig zijn (subs staat voor substitutie).
|
|
(iii) Bepaal $A^{-1}$.
|
|
(iv) Bepaal $\det(A^{-1})$. Wat is het verband met $\det(A)$?
|
|
Bekijk het volgende stelsel.
\[\left\{\begin{array}{rcl} x_1 \ \ \, -3\,x_2 + x_3 &=& 1\\ \phantom{-3\,x_2} - x_3 &=& 1\\ -x_1 +\sqrt{2}\,x_2 + x_3 &=& 1 \end{array}\right.\] (i) Bepaal de coëfficiëntenmatrix $A$ van dit stelsel.
|
|
(ii) Wat is de canonieke vorm van $A$? (rref()) Leid hieruit rang($A$) af. Geef ook een kort argument hoe je uit de canonieke vorm de rang kan bepalen. Controleer jouw resultaat door Sage direct rang($A$) te laten berekenen.
|
|
(iii) Geef een voorbeeld van een $3 \times 3$ - matrix die rang $<3$ heeft.
|
|
(iv) Bepaal de verhoogde (of: uitgebreide) matrix $B$ van het bovenstaande stelsel.
|
|
Indien je bovenstaande vraag beantwoord hebt door $B$ elementsgewijs te definiëren: probeer $B$ te maken met het commando $A$.augment($b$), met $b$ een gepaste vector.
|
|
(v) Bereken de canonieke vorm van $B$. We noemen deze matrix $C$. Wat is de rang van $C$?
|
|
(vi) Heeft dit stelsel een oplossing? (De opgave hier is nog niet een oplossing te bepalen, maar te bewijzen, dat er een oplossing bestaat.) Maak voor jouw antwoord gebruik van rang($A$), rang($C$), en de juiste stelling (geef aan welke) uit de les.
(vii) Bepaal de oplossingsverzameling $X$ van dit stelsel (waarbij je vrij kan kiezen hoe je dat doet). Toon alle oplossingen.
|
|
Controleer, gebruik makend van bool, dat elke oplossing, die je hebt gevonden, inderdaad een oplossing is.
|
|
(viii) Normaal gezien heb je maar één oplossing van het stelsel gevonden. Bewijs dat deze oplossing uniek is.
|
|
(ix) Gebruik de stelling van Cramer om te verifiëren dat jouw oplossing $X$ inderdaad een oplossing is. Bereken hiervoor det($A$) en bepaal de determinanten $T_i$ zoals gedefinieerd in de cursus (i.e. de determinant van de coëfficiëntenmatrix $A$, waarbij de $i$-de kolom vervangen is door het rechterlid). Bereken dan $X_i = T_i/\det(A)$ voor alle $i$ en controleer daarmee jouw resultaat uit (vii); je oplossing $X$ zou moeten overeenkomen met $(X_1,X_2,X_3)$.
Hint: je kan hierbij het commando matrix_from_columns() gebruiken. Hou er rekening mee dat Sage vanaf 0 begint te tellen.
|
|
Stel $a$ een complex getal en bekijk de volgende twee vectoren: $v = \left(\begin{array}{c}1\\a^2\end{array}\right)$ en $w = \left(\begin{array}{c}2\\8\end{array}\right)$.
(i) Voor welke waarden van $a$ zijn $v$ en $w$ lineair afhankelijk? Voor welke waarden zijn ze lineair onafhankelijk?
|
|
(ii) Bereken het scalair product van $v$ en $w$ met het commando v.dot_product(w). Voor welke waarden van $a$ is het gelijk aan 0? Hiervan gebruikmakend, bepaal een vector die orthogonaal is met $w$.
|
|
Teken die twee orthogonale vectoren in het vlak met het commando plot. Waarschijnlijk lijken de vectoren in uw tekening niet orthogonaal te zijn -- hoe komt dat? Gebruik aspect_ratio=1 om dit op te lossen.
|
|
|
|
Bepaal alle complexe getallen $z \in \mathbb{C}$ waarvoor geldt dat $z \cdot \bar{z}=4$.
Je kan een willekeurige complex getal ingeven als volgt: kies x en y als variabelen met var('x,y') en maak daarmee een willekeurig complex getal z = x+y*i.
Voer de symbolische berekening $z\cdot \bar{z}$ uit.
|
|
Teken dan alle complexe getallen die voldoen aan $z\cdot \bar{z}=4$ in het complexe vlak.
Tip: zet deze voorwaarde om naar een voorwaarde voor x en y en en gebruik het commando implicit_plot om dit te tekenen.
|
|
Bespreek de oplossingen van het stelsel met parameter $m \in \mathbb{R}$ :
$\left \{ \begin{array}{rcl}
x - y - mz & = & -1 \\
x + my - z & = & 1 \\
mx + y - z & = & 1
\end{array} \right.$
Tip: Ga na wanneer dit een stelsel van Cramer is, en bepaal dan de unieke oplossing. In alle andere gevallen, ga op zoek of er oplossingen zijn.
|
|
Gegeven de vectoren $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. Bewijs dat deze vectoren lineair onafhankelijk zijn.
(i) Gebruik de definitie van lineaire afhankelijkheid, om het stelsel te vinden dat dit probleem oplost. Schrijf dit stelsel als één vergelijking in matrixvorm op.
(ii) Bereken de canonieke vorm $C$ van de coëfficiëntenmatrix van dit stelsel.
|
|
(iii) Uit (ii) kunnen we onmiddellijk de rang van $C$ aflezen. Wat kunnen we, gebruikmakend van rang($C$) en het resultaat uit (ii), zeggen over de lineaire onafhankelijkheid van de drie vectoren?
(iv) Definieer, met behulp van het commando .span(), de deelvectorruimte $W$ van ${\mathbb Q}^4$ die door de vectoren $v_1 = \begin{pmatrix}1\\1\\2\\-1\end{pmatrix}$ en $v_2 = \begin{pmatrix}2\\3\\5\\-4\end{pmatrix}$ opgespand wordt. Laat Sage $W$ en zijn eigenschappen weergeven.
|
|
(v) Schrijf $v_1$ als lineaire combinatie van de rijen van de basismatrix uit (iv).
|
|
(vi) Zij $x = 3v_1 - 2v_2$. Toon $x$ en bepaal of $x$ in $W$ ligt.
|
|
(vii) Zij $y = \begin{pmatrix}0\\ \sqrt{2}\\ \sqrt{2}\\ -2\sqrt{2}\end{pmatrix}$. Bepaal of $y$ in $W$ ligt.
|
|
Dat is raar: hoewel $y$ een veelvoud van de tweede rij van de basis matrix van $W$ is, zegt Sage ons dat $y$ niet in $W$ ligt. Hoe komt dat?
(viii) Herdefinieer $W_R$ zoals $W$ maar als deelvectorruimte van ${\mathbb R}^4$ (gebruik Symbolic Ring). Is $y$ in $W_R$?
|
|