Vaak hebben we in toepassingen te maken met meer dan één variabele. Om de snijpunten van de grafieken van de vergelijkingen $x^2 + y^2 = 1$ en $x - y = 1$ te vinden, kan je volgende code uitvoeren:
|
|
Om de grafieken van zulke vergelijkingen te tekenen is het handig implicit_plot te gebruiken.
Met de volgende code kunnen we de grafieken samen met hun snijpunten tekenen:
|
|
Probeer nu de grafieken van de vergelijkingen $-2x^2 - 2x + y^2 = -11$ en $y = -1$ en hun snijpunten te tekenen, zodat alles goed zichtbaar is.
|
|
Met behulp van implicit_plot3d kunnen we bijvoorbeeld visueel nagaan of de 3 vlakken $x-2y+4z=15$, $-x+3y-z=2$ en $2x-3z=-17$ gemeenschappelijke punten hebben. Voer hiertoe volgende code uit:
|
|
Bereken nu expliciet de doorsnede van deze drie vlakken.
|
|
Opmerking: We kunnen vlakken en rechten ook tekenen aan de hand van hun parametervoorstelling met parametric_plot3d. Onderstaande code tekent het vlak $\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) + k \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) + l \left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right) \text{ en de rechte } \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) + m \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right) $.
|
|
De keuze van de waarden voor de parameters om een mooie figuur te verkrijgen kan hierbij iets moeilijker zijn. Probeer zelf deze eens aan te passen in bovenstaand voorbeeld.
(i) Gegeven de vectoren $v = \left(\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right)$ en $w = \left(\begin{array}{c}1\\\sqrt{2}\\a\end{array}\right)$, waarbij $a$ een reëel getal is.
Bereken één waarde van $a$ waarvoor de lengte van het vectorieel product van $v$ en $w$ gelijk is aan het product van de lengtes van $v$ en $w$, dus $| v \times w | = | v | \cdot | w |$. Voor het vectorieel product $v\times w$ kan je het commando v.cross_product(w) gebruiken.
|
|
(ii) Stel voor de rest van de oefening $a$ gelijk aan de waarde die je zonet gevonden hebt. Ga na dat $v$, $w$ en $v\times w$ lineair onafhankelijk zijn.
|
|
(iii) Teken nu de vectoren $v$ en $w$ en hun vectorieel product $v \times w$.
|
|
(iv) Het lijkt erop dat de drie vectoren orthogonaal zijn; ga dit na!
|
|
(v) Dit is altijd zo als $| v \times w | = | v | \cdot | w |$ geldt. Bewijs dit.
Probeer de voorbeelden 3.11.1 en 3.11.4 (theoriecursus p.45 en p.48) op te lossen met Sage als volgt:
(i) Maak de matrix $A = \left(\begin{array}{cc}1&2\\0&-1\end{array}\right)$ en bepaal de eigenwaarden van A door de nulpunten van de karakteristieke veelterm te zoeken.
Gebruik A.charpoly() om deze veelterm te bepalen. Bekom je dezelfde oplossingen als je het commando A.eigenvalues() gebruikt?
Heel belangrijke opmerking: Sage gebruikt voor de karakteristieke veelterm $p_\lambda(A)$ de definitie $\det(\lambda I - A)$, terwijl wij $\det(A - \lambda I)$ gebruiken.
Omdat de matrices $(\lambda I - A)$ en $(A - \lambda I)$ tegengesteld zijn aan mekaar, geldt voor $A$ een $n \times n$ matrix dat de twee definities verschillen met een factor $(-1)^n$, dus $ \underbrace{p_\lambda(A)}_{\text{onze def.}} = (-1)^n \cdot \underbrace{A.charpoly('lambda')}_{\text{Sage def.}}.$
|
|
(ii) Bepaal bij elke eigenwaarde $\lambda$ de bijhorende eigenvectoren als de oplossingen $v$ van de vergelijking $A\cdot v=\lambda \cdot v$. Zet hiervoor eerst $v=\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)$.
|
|
(iii) Controleer dat het commando A.eigenvectors_right() (Gebruik right omdat de vermenigvuldiging met $v$ rechts gebeurt: A*v) per eigenwaarde de volgende 3 kenmerken geeft:
(1) de eigenwaarde, (2) een basis van de eigenruimte, en (3) de (algebraïsche) multipliciteit van de eigenwaarde.
Definitie: De algebraïsche multipliciteit van een eigenwaarde is het aantal keer dat deze eigenwaarde als nulpunt van de karakteristieke veelterm voorkomt (dus als een eigenwaarde precies 2 keer voorkomt, spreken we van een eigenwaarde met multipliciteit 2).
|
|
(iv) Maak de diagonaalmatrix D met als diagonaalelementen de eigenwaarden van A en maak de matrix M die de eigenvectoren van A (in de juiste volgorde) als kolommen heeft.
Ter controle: het commando A.eigenmatrix_right() geeft ze allebei: links de diagonaalmatrix met de eigenwaarden van A en rechts de matrix waarbij de eigenvectoren van A de kolommen vormen.
Toon nu aan dat matrix A diagonaliseerbaar is , m.a.w. dat er een reguliere matrix M en een diagonaalmatrix D bestaat zodat $D=M^{-1}AM$.
|
|
Zij $f$ de reële functie gedefinieerd door $$f(x) = (\ln\sqrt{x+3}) \cdot (x^4 + 2x^3 + x^2) \cdot (x^2+1) \cdot (e^{x^2 - 4} - 1).$$
(i) Bepaal ${\rm def}(f)$
(ii) Bepaal alle reële nulpunten van $f$.
Maak een overzicht in de vorm van een tabel met drie kolommen (deze tabel maak je in de tekstregel of op papier, dus zonder Sage te gebruiken),
waarin staat
|
|
(iii) Toon de grafiek van $f$ tussen $-2.1$ en $0.5$ (in het blauw), en apart (in een nieuw venster) de grafiek van $f$ tussen $-0.1$ en $2.1$ (in het rood). Gebruik voor beide grafieken thickness='2'. Geef uitleg, waarom we (t.o.v. de nulpunten van $f$) de grafiek zo opgesplitst hebben.
|
|
(iv) Liggen de volgende punten op de grafiek van $f$ ? Gebruk bool om het antwoord te tonen. Als dat niet altijd lukt: waarom lukt het niet?
a) $(0,1)$ b) $(0,0)$ c) $(-1,-1)$ d) $(2,2)$ e) $(-3,0)$
|
|
(v) Is $f$ even? Is $f$ oneven? Is $f$ periodiek? Indien ja, geef de primitieve periode van $f$ aan, indien neen, bewijs waarom niet.
|
|
Zij $A = \left(\begin{array}{ccc}-8&-2&8\\-6&-4&8\\-8&-4&10\end{array}\right)$.
(i) Bereken de eigenwaarden van $A$. Wat is hun (algebraïsche) multipliciteit?
|
|
(ii) Bepaal voor elke eigenwaarde een bijhorende eigenvector van lengte 1 (is deze vector uniek?). Controleer dat jouw eigenvector $v$ inderdaad lengte 1 heeft met het commando v.norm().
|
|
(iii) Is $A$ diagonaliseerbaar?
|
|
(iv) De eigenwaarden van $A$ zijn $-2$ en $2$. Bepaal voor elke eigenwaarde de bijhorende eigenruimte. Welke dimensie hebben deze ruimten?
Definitie: De dimensie van de eigenruimte behorend bij een eigenwaarde $\lambda$ heet de geometrische multipliciteit van de eigenwaarde $\lambda$.
|
|
(v) Geef een voorbeeld van een matrix met een eigenwaarde met geometrische multipliciteit 3.
|
|
(vi) Geef een voorbeeld van een matrix met een eigenwaarde waarvan de algebraïsche multipliciteit niet gelijk aan de geometrische multipliciteit is.
|
|
We beschouwen twee rechten $L_1$ en $L_2$ in $\mathbb{R}^3$ met als parametervergelijkingen: $L_{1} : \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) + k \left(\begin{array}{c}1\\-1\\2\end{array}\right) \quad \text{en} \quad L_{2} : \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\2\\-1\end{array}\right) + m \left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right) $
(i) Toon aan dat $L_1$ en $L_2$ elkaar loodrecht snijden en bepaal het snijpunt.
|
|
(ii) Geef de vergelijking van het vlak $\alpha$ (in de vorm $ux+vy+wz+t=0$) dat de rechten $L_1$ en $L_2$ bevat, en toon in een figuur dit vlak en de twee rechten $L_1$ en $L_2$.
|
|
(iii) Geef een parametervergelijking van de rechte $L_3$ die beide rechten $L_1$ en $L_2$ loodrecht snijdt. Maak een voorstelling in de ruimte van de richtingsvectoren van de rechten $L_1, L_2$ en $L_3$.
|
|
(i) Bepaal de eigenwaarden en bijhorende eigenvectoren van de matrix $B = \left(\begin{array}{cc}3&1\\2&2\end{array}\right)$ .
|
|
(ii) Neem een eigenvector van de grootste eigenwaarde en noem deze $v_1$, doe hetzelfde voor de tweede eigenwaarde en noem deze $v_2$.
Maak een lijst K van vectoren die je bekomt door de 10 producten $B^i \cdot v_1$ met $i=1,2,...,10$ te berekenen. (gebruik een for loop)
Maak een lijst L van vectoren die je bekomt door de 10 producten $B^i \cdot v_2$ met $i=1,2,...,10$ te berekenen. (gebruik een for loop)
|
|
(iii) Plot de vector $v_1$ samen met de vector $B \cdot v_1$ (in het rood) en de vector $B^2 \cdot v_1$ (in het groen). Alle drie de kleuren moeten goed zichtbaar zijn.
Plot daarna in een andere figuur de vector $v_2$ samen met de vector $B \cdot v_2$ (in het rood) en de vector $B^2 \cdot v_2$ (in het groen).
Beschrijf hoe je uit deze plots kan verklaren wat de betekenis is van een eigenwaarde en de bijhorende eigenvector van een matrix.
|
|
(i) Voor welke reële waarden van $a$ heeft $A = \left(\begin{array}{ccc}a&1&2\\1&2&a\\2&a&1\end{array}\right)$ als eigenwaarde 1?
|
|
(ii) Vul nu $a=-2$ in bij de matrix $A$ uit (i). Bepaal dan alle vectoren $v=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$ die door $A$ op zichzelf worden afgebeeld door de actie $A \cdot v$
|
|
(i) Definieer in Sage de vectoren $p_1 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$, $p_2 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ en $p_3 = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$. Maak hiermee een lijst, die je "punten" noemt. Gebruik deze lijst om een rode veelhoek $P$ te tekenen met de coördinaten van $p_1$, $p_2$ en $p_3$ als hoekpunten (bekijk eens het commando polygon).
|
|
(ii) In de volgende code ontbreekt de juiste matrix. Vul bij " A= " de rotatiematrix $A$ van het vlak om hoek $\alpha$ (in tegenwijzerzin) in
|
|
(iii) Gebruik rot_poly om $P$ om de hoek $3\pi/8$ in tegenwijzerzin te roteren. Teken $P$ (in het rood) en zijn rotatie $R$ (in het groen).
|
|
(iv) Bepaal alle hoeken $\alpha\in[0,2\pi]$ zo dat $P$ en zijn rotatie om $\alpha$ in tegenwijzerzin disjunct zijn.
|
|
Definieer de reële functie $f(x)=2\ln(3x-7)$
(i) Zoek het voorschrift van de inverse functie van $f$.
Noem de gevonden functie "$inversf$" en teken de grafieken van $f$ en $inversf$ samen in één assenstelsel (voor $x\in [-1,8]$), in twee verschillende kleuren.
|
|
(ii) Stelt de functie $g(x)=\ln((3x-7)^2)$ dezelfde functie voor als de functie $f(x)=2\ln(3x-7)$?
Kan je dit verklaren met rekenregels voor logaritmen en het definitiegebied van beide functies?
Teken de grafiek van $g$ (voor $x \in [-4,8]$ ) en vergelijk met de grafiek van $f$.
|
|
(i) Bepaal de periode van de functie $f_1(x)=\cos{3x}$ en teken de grafiek in een interval met als lengte 4 keer de periode.
Is deze functie even of oneven? Ga dit na, niet alleen door de grafiek te beschouwen, maar ook door de definitie te verifiëren.
|
|
(ii) Schrijf een functie even(f) die nagaat of een gegeven functie f even is of niet, en een functie oneven(f) die nagaat of een functie f oneven is of niet.
Geef dan aan welke van de onderstaande functies even zijn en welke oneven.
\[\begin{array}{lll}
f_1(x) = \cos(3x) &f_5(x)= \exp(1-x^2) &f_9(x) = \sqrt{x} \\[2mm]
f_2(x) = |\sin(x)| &f_6(x)= -x\sin(x) &f_{10}(x)= \sqrt[3]{x}\\[2mm]
f_3(x)= \ln(x) &f_7(x)= \sin(x)+\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{3}\sin(3x) &f_{11}(x)= \cos(x-\frac{\pi}{4})+\sin(x-\frac{\pi}{4})\\[2mm]
f_4(x)=\cos(x-\frac{\pi}{2}) & f_8(x)=2+\cos(x)+\sin(x) &f_{12}(x)=\cos(x-\frac{\pi}{4})
\end{array}\]
|
|
Gegeven de volgende vier punten in de driedimensionale ruimte $A(2k,0,0),\, B(2,4,0),\, C(-2,4,0)$ en $D(0,0,2)$. Hierbij is $k$ een willekeurige reële parameter.
De punten $P,Q,R$ en $S$ zijn respectievelijk de middens van $[AB], [BC], [CD]$ en $[DA]$.
(i) Bepaal de coördinaten van de punten $P,Q,R$ en $S$.
|
|
(ii) Toon aan dat de rechten $PR$ en $QS$ elkaar snijden en bepaal het snijpunt.
|
|
(iii) Bepaal de vergelijking (in de vorm $ux+vy+wz+t=0$) van het vlak dat de rechten $PR$ en $QS$ omvat.
|
|
(iv) Bepaal de waarde(n) van $k$ waarvoor de rechten $PR$ en $QS$ orthogonaal zijn.
|
|
(i) Noem de vector $q= \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$. Bepaal het beeld van deze vector onder een rotatie over een hoek van $\pi/2$ in tegenwijzerzin.
Met welke matrix $R$ moet je $q$ vermenigvuldigen zodanig dat $R \cdot q$ het gevraagde beeld is? Geef de matrix $R$ en bepaal het beeld $R \cdot q$.
|
|
(ii) Bepaal achtereenvolgens de beelden van $Rq, R^2q$ en $R^3q $.
Plot deze vectoren (elk in een verschillende kleur) in één figuur samen met vector $q$.
De eindpunten van bovenstaande vectoren liggen op een cirkel met middelpunt $(0,0)$.
Bepaal de straal van de cirkel en teken de cirkel bij de plots van de vectoren in één figuur.
|
|
(iii) Neem $a$ en $b$ variabel.
Noem de matrix $A$ de rotatiematrix om de hoek $a$ in tegenwijzerzin.
Noem de matrix $B$ de rotatiematrix om de hoek $b$ in tegenwijzerzin.
Laat Sage ze allebei tonen.
Bereken daarna het product $AB$ en gebruik je kennis van goniometrische formules om het resultaat te vereenvoudigen.
Is $AB$ ook een rotatiematrix? Zo ja, om welke hoek?
Controleer jezelf door de 2 elementen op de eerste rij van matrix $AB$ te nemen en te vereenvoudigen.
vb. het element op de eerste rij, eerste kolom, van $AB$ is : (A*B)[0,0]; zoek een manier om deze goniometrische formule te vereenvoudigen met Sage.
|
|