(i) Zonder het Sage commando .is_hermitian(); te gebruiken, schrijf een functie herm(A) die voor een gegeven complexe matrix $A$ bepaalt of $A$ hermitisch is of niet. De functie moet "True" antwoorden als $A$ hermitisch is en "False" als $A$ niet hermitisch is.
|
|
(ii) Verifieer met de functie herm() of volgende matrices hermitisch zijn: $$A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right), \quad B = \left(\begin{array}{cc} i & 0\\ -2i & 1 \end{array}\right), \quad C = \left(\begin{array}{cc} 1 & -i\\ i & \pi^2 \end{array}\right), \quad D = \left(\begin{array}{cc} 2 & 0 & 5i\\ 3i+1 & 0 & 0 \end{array}\right), \quad A + C, \quad AB, \quad C^2.$$
|
|
Hoe kan je bij matrices $B$ en $D$ onmiddellijk zien, dat ze niet hermitisch kunnen zijn?
(iii) Voor welke waarden van $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \mathbb{C}$ is de matrix $\left(\begin{array}{cccc} z_1 & 5i-3 & 0 & z_4\\ z_2 & z_3&0&0\\0&0&-1&0\\-z_4&0&0&1 \end{array}\right)$ hermitisch?
|
|
(iv) Zij $E$ de matrix uit (iii) met $z_1 = z_3 = 1$, $z_2 = -5i-3$ en $z_4 = i$. Toon $E$. Wat is het verband tussen $E$ en $E^H$ (dus de hermitisch toegevoegde van $E$)? Controleer ook je antwoord. Bepaal vervolgens de determinant van $E$ en de karakteristieke veelterm van $E$. Geef dan alle eigenwaarden van $E$ en bepaal, voor elke eigenwaarde, één corresponderende eigenvector. Normeer ten slotte de eigenvectoren behorend bij de eigenwaarden $-1$ en $1$.
|
|
(v) Zij $v$ een eigenvector horende bij eigenwaarde $-1$; zij $w$ een eigenvector horende bij eigenwaarde $1$. Zij $S$ de vectorruimte opgespannen door $v$ en $w$, dus de verzameling van alle vectoren die ontstaan door lineaire combinaties van $v$ en $w$ te maken.
Zoek 2 vectoren uit $S$ zodat de driehoek, met als hoekpunten de eindpunten van die vectoren en de oorsprong, oppervlakte 1 heeft.
|
|
(vi) Zonder het Sage commando .is_unitary(); te gebruiken, schrijf een functie unit(A) die voor een gegeven complexe matrix $A$ bepaalt of $A$ unitair is of niet. De functie moet "True" antwoorden als $A$ unitair is en "False" als $A$ niet unitair is.
|
|
Zijn de matrices $A, B, C$ en $D$ -- gedefinieerd in deel (ii) -- unitair?
|
|
Zij $$f(x)=2x-\sqrt{4x^2-3x}$$
(i) Bepaal het definitiegebied van $f$
|
|
(ii) Bepaal $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ en $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ (zoek hiervoor eerst een gepast commando)
|
|
(iii) Bepaal de asymptoten van $f$ en bepaal de limiet in de randwaarden van het definitiegebied.
|
|
(iv) Teken de grafiek van $f$ (in het blauw), samen met de gevonden asymptoten (in het rood) in één figuur:
|
|
(i) Zij $S_n = \sum\limits_{j=1}^n 2^{-j}$, waarbij $n \in \mathbb{N}$, de $n$-de partieelsom van $\sum\limits_{j=1}^\infty 2^{-j}$. Bereken de partieelsommen $S_1$, $S_{10}$, $S_{50}$ en $S_{100}$ (zoek eerst een gepast commando om deze sommen uit te rekenen).
Als deze reeks zou convergeren, wat zou dan een plausibele reekssom zijn? Bereken de limiet $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$.
|
|
(ii) Bepaal de reekssom van de volgende reeksen indien ze convergeren. (Noot: $R_2$ is de harmonische reeks, $R_3$ de alternerende harmonische reeks en $R_4$ het probleem van Bazel.) $$R_1 = \sum\limits_{n=0}^\infty 2^{-n}, \qquad R_2 = \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-1}, \qquad R_3 = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n^{-1}, \qquad R_4 = \sum\limits_{n=1}^\infty n^{-2}, \qquad R_5 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2n-1}$$
|
|
(iii) Bereken $$\ln\left(\lim_{n \to \infty} \left( \exp\left(R_3\right) - 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right) - 9 \cdot \sum_{n=1}^\infty 10^{-n}.$$
|
|
(iv) Bepaal $k$ zo dat $$\sum\limits_{n=0}^k 2^{-n} = \sum\limits_{n=k+1}^\infty 2^{-n}.$$
|
|
(v) Geef een voorbeeld van een rij $(a_n)_{n \in\mathbb{N}}$ met $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n = \sqrt{2}$, waarbij $a_k > 0$ voor alle $k$.
|
|
(i) Voor welke waarde(n) van $a \in \mathbb{R}$ is $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x = e \, ?$$
|
|
(ii) De grafiek van de functie $f(x)=\ln(e^{px}+q)$, met $p,q \in \mathbb{R}$ en $p>0$, heeft een schuine asymptoot met vergelijking $y=2x$ voor $x\rightarrow +\infty$ en een horizontale asymptoot met vergelijking $y=1$ voor $x\rightarrow-\infty$.
Bepaal $p$ en $q$.
|
|
(i) Bepaal alle derdemachtswortels van 1 (ook de complexe) . Welke vergelijking moet je daartoe oplossen?
|
|
(ii) Teken alle oplossingen als vector in het complexe vlak.
|
|
(iii) Alle oplossingen liggen op een cirkel met middelpunt $(0,0)$. Wat is de straal? Teken vervolgens de cirkel bij de figuur uit (ii)
|
|
(iv) Teken de veelhoek (in het oranje) gevormd door de oplossingen als hoekpunten bij de vorige figuren
|
|
(v) Bepaal nu alle derdemachtsortels van $1-i$. Wees kritisch en controleer je oplossingen!
Teken daarna de oplossingen als punten in het complexe vlak, teken de cirkel waar ze alle op liggen en teken de veelhoek gevormd door de oplossingen erbij in het oranje.
Bekijk ook de numerieke benaderingen van de oplossingen.
|
|
(i) Gebruikmakend van de functie .is_hermitian(), schrijf een functie prop(A) die voor een gegeven matrix $A$ ten eerste de vraag "Is uw matrix hermitisch?" toont met het juiste antwoord, ten tweede de tekst "De karakteristieke veelterm van uw matrix is" gevolgd door de juiste veelterm (in de variabele $x$), ten derde de tekst "De eigenwaarden van uw matrix zijn" gevolgd door de juiste getallen, en ten slotte de tekst "Controle: de nulpunten (en hun multipliciteit) van de karakteristieke veelterm zijn" gevolgd door de correcte nulpunten.
|
|
(ii) Pas de functie prop op de matrices $A, B$ en $C$ uit Opgave 1 toe.
|
|
Normaal gezien krijg je bij het uitvoeren van prop(C) een foutmelding. Hoe kunnen we de functie prop veranderen om voor de matrix $C$ geen foutmelding meer te krijgen?
|
|