Voor een matrix $A$, zij $A_j$ de matrix die ontstaat door uit $A$ de $j$-de rij en $j$-de kolom te verwijderen. Stel nu $$A = \left(\begin{array}{ccc}1&0&i\\0&2&3\\-i&3&a \end{array}\right),$$ waarbij $a \in \mathbb{C}$.
Bewijs, dat $$-p_\lambda'(A) = p_\lambda(A_1) + p_\lambda(A_2) + p_\lambda(A_3)$$ geldt.
Opmerking: Sage gebruikt voor de karakteristieke veelterm $p_\lambda(A)$ de definitie $\det(\lambda I - A)$, terwijl wij $\det(A - \lambda I)$ gebruiken. Voor $A$ een $n \times n$ matrix is het verschil een factor van $(-1)^n$, i.e. $$(-1)^n \cdot \underbrace{p_\lambda(A)}_{\text{Sage def.}} = \underbrace{p_\lambda(A)}_{\text{onze def.}}$$
|
|
Beschouw $f(x)=x e^{-x^2}$. Deze functie is over gans $\mathbb{R}$ afleidbaar.
(i) Bepaal de eerste en de tweede afgeleide functie van $f$.
|
|
(ii) Bepaal de extreme waarden en de buigpunten van $f$.
Teken de grafiek van $f$ voor $x\in[-4,4]$ in het groen en duid er de speciale punten op aan (extrema in rood, buigpunten in zwart).
|
|
(iii) Bepaal de raaklijn in het snijpunt van $f$ met de $y$-as en teken daarna de raaklijn bij de grafiek.
Vergelijking van de raaklijn aan $f$ in $(a,f(a))$: $y-f(a)= f'(a)(x-a)$
|
|
(iv) Bepaal een primitieve functie van $f$.
|
|
(v) Bereken $\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) \,{\rm d}x$ en verklaar het antwoord.
|
|
(vi) Bereken de oppervlakte tussen de $x$-as en de functie $f$ voor $x\geq 0$ (Tip: dit kan je berekenen met $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}f(x)\,{\rm d}x$ )
|
|
Gegeven de functie $z=f(x,y)=3x^2y+y^3-3x^2-3y^2+2$
(i) Bepaal de partiële afgeleiden $\frac{\partial f}{\partial x}$ en $\frac{\partial f}{\partial y}$.
|
|
(ii) Bepaal de kritische punten van $f$:
De kritische punten zijn oplossingen van het stelsel: $\left \{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x}& = & 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}&= & 0\end{array} \right.$
|
|
(iii) Bereken de Hessiaan $\begin{vmatrix}f''_{xx} & f''_{xy} \\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{vmatrix}$ en bepaal vervolgens de extrema en de zadelpunten van $f(x,y)$.
(Noot: wij hebben de "Hessiaan" gedefinieerd als een determinant, hessian() in Sage geeft een matrix.)
|
|
(iv) Teken een 3D-plot van $f(x,y)$ en duid daar de kritische punten op aan. Eventuele zadelpunten in het rood, een maximum in het geel en een minimum in het zwart.
|
|
(v) In de vorige vraag tekende je het oppervlak $z=f(x,y)$. Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan dit oppervlak in het gevonden maximum. Doe dit ook voor de zadelpunten en het gevonden minimum.
|
|
(vi) Bepaal een vergelijking van en teken het raakvlak aan $z=f(x,y)$ in $(x,y,z)=(1,0,f(1,0))$.
|
|
Voor een reëel getal $x$ geldt $e^x = \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{x^k}{k!}$. Voor een $n \times n$ matrix $A$ definiëren we $e^A = \sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{A^k}{k!}$. Zij nu $A = \begin{pmatrix}x&0\\0&1\end{pmatrix}$ en $x \in \mathbb{R}$.
(i) Bepaal $A^k$ voor een willekeurig geheel getal $k$. Bereken eerst $A, A^2, A^3$ en $A^4$ met Sage. Probeer dan, op papier, een algemene formule voor $A^k$ te bepalen en deze via inductie te bewijzen.
|
|
Opmerking: Je kan jouw antwoord controleren bij Oefening 3 uit Hoofdstuk 2 of met de website wolframalpha.com (onze versie van Sage kan dit nog niet) -- gebruik hierbij voor $A$ de syntax {{x,0},{0,1}}.
(ii) Bereken $\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{A^k}{k!}$ gebruikmakend van het feit dat $\sum\limits_{k=0}^\infty \dfrac{\begin{pmatrix}x^k&0\\0&1\end{pmatrix}}{k!} = \begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}&0\\0&\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\end{pmatrix}$. Controleer of het inderdaad hetzelfde geeft als e^A of e**A in Sage in te voeren.
|
|
(iii) Zij $f(x) = \det(e^A)$. Bepaal $f$ en teken de grafiek van $f$.
|
|
(iv) Bepaal $\displaystyle\int_0^1 f(x) \, {\rm d}x$. Geef de exacte oplossing en ook een numerieke benadering.
|
|
(v) Bereken $y$ zodat $\displaystyle\int_{- \infty}^0 f(x) \, {\rm d}x = \displaystyle\int_0^y f(x) \, {\rm d}x$. Geef de exacte oplossing en ook een numerieke benadering.
|
|
(vi) Toon aan, dat er geen $k \in \mathbb{R}^+$ is zodat $\displaystyle \int_0^k f(x) \,{\rm d}x = - 1.$
|
|
Beschouw de functie
$$ \begin{equation} f(x)= \begin{cases} 2\sqrt{x} & \text{als } 0\leq x\leq1\\ \exp(\frac{x^2-k}{x})+1 & \text{als }1<x\leq3 \end{cases} \end{equation} $$
Dit is een stuksgewijs gedefinieerde functie. Tik in de invoerregel : piecewise? om te zien hoe je dit moet ingeven in Sage.
|
|
(i) Definieer twee functies $f_1(x)=2\sqrt{x}$ en $f_2(x,k)=\exp(\frac{x^2-k}{x})+1$ met parameter $k$ (die je moet ingeven als een extra variabele)
en definieer vervolgens $f$ als stuksgewijs gedefinieerde functie $$ \begin{equation} f(x)= \begin{cases} f_1(x) & \text{als } 0\leq x\leq1\\ f_2(x,k) & \text{als }1<x\leq3 \end{cases} \end{equation} $$
|
|
(ii) Stel $k=2$ en definieer de stuksgewijze functie opnieuw (door $f_2(x,2)$ te gebruiken in plaats van $f_2(x,k)$).
Teken de grafiek van $f$. Is de functie $f$ continu in $[0,3]$?
Bereken $f_1(1)$ en $\lim_{x\rightarrow1}f_2(x,2)$ om dit te verifiëren.
|
|
(iii) Welke waarde moet je kiezen voor $k$ opdat de functie $f$ continu zou zijn in $1$? Bereken.
Definieer vervolgens $f$ opnieuw zoals hierboven, maar met de gevonden waarde voor $k$, ingevuld in $f_2(x,k)$
Teken dan de grafiek opnieuw en controleer dat het om een continue grafiek gaat.
|
|