Voorbeelden met differentiaalvergelijkingen

Bekijk http://doc.sagemath.org/html/en/reference/calculus/sage/calculus/desolvers.html voor een overzicht van mogelijke oplossingsmethoden voor differentiaalvergelijkingen (ODE= ordinary differential equation). 

Voorbeeld 1: oefening 2.2(d)

Bepaal de meest algemene oplossing van de DV van 1e orde  $y'(x) - 3y(x)=x$ .

Vereenvoudig de bekomen oplossing tot de oplossing uit de cursus, nl: $y(x)=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}+Ce^{3x}$:

Voorbeeld 2:  Oefening 2.3

Bepaal de meest algemene oplossing van de DV van 1e orde  $y'(x) - \tan(x)y(x)=\cos(x)-2x\sin(x)$ :

En bepaal vervolgens de unieke oplossing waarvoor $y(\frac{\pi}{6})=0$ : De beginvoorwaarden geef je in met ics

ics - (optional) the initial or boundary conditions
for a first-order equation, specify the initial $x$ and $y$-> beginvoorwaarden bij een 1e orde DV
for a second-order equation, specify the initial $x$, $y$, and $dy/dx$, i.e. write $[x0,y(x0),y′(x0)]$ -> beginvoorwaarden bij een 2e orde DV
for a second-order boundary solution, specify initial and final $x$ and $y$ boundary conditions, i.e. write $[x0,y(x0),x1,y(x1)].$-> randvoorwaarden bij een 2e orde DV

Om de oplossing uit de cursus te vinden, moeten we dit anders schrijven:

Voorbeeld 3: Oefening 2.4

Bepaal de unieke oplossing van de  DV $a^2xy'(x)+y(x)(x^2-a^2)=0$ waarvoor $y(1)=\frac{1}{a^2}e^{-\frac{1}{2a^2}}$. Je mag hierbij aannemen dat $x>0$ en dat $a>0$.

For equations involving more variables we specify an independent variable:

Om de oplossing te bekomen uit de cursus moeten we eerst nog veronderstelling maken, nl. dat $x>0$ en $a>0$ is.

Vergeet niet om de gemaakte veronderstellingen ongedaan te maken:

Voorbeeld 4: Oefening 2.13

Bepaal de oplossing van de DV van de 2de orde: $y''(x)-3y'(x)+2y(x)=xcos(x)+e^x$   waarbij  $y(0)=1$ en $y'(0)=0$.

De oplossing in de cursus bekom je door:

Voorbeeld 5: Oefening 2.31(a)

Stelsel lineaire 1ste orde differentiaalvergelijkingen met beginvoorwaarden oplossen:

$\begin{cases} y'_1&=y_1+2y_2\\y'_2&=3y_1+2y_2 \end{cases} $   met $y_1(0)=0$ en $y_2(0)=-4$.