Suiker wordt in water gestrooid en zal langzaam oplossen.
De fractie $a(t)$ van het suiker dat opgelost is na $t$ minuten, voldoet aan de differentiaalvergelijking:
$$\displaystyle \frac{da}{dt}=0.25(1-a(t)) \quad \text{ met }a(0)=0.1$$
1) Hoe groot is de fractie opgelost suiker na $t$ minuten?
|
|
2) Hoe groot is de fractie opgelost suiker na 10 minuten?
|
|
|
|
Biostatistici proberen het aantal besmettingen met een virus te modelleren.
Een vereenvoudigd model geeft het aantal besmettingen $y(t)$ via de differentiaalvergelijking:
$$y' + (a t - b) y = 0 \qquad y(0)=c$$
waarbij $a$, $b$ en $c$ positieve constanten zijn, die geschat worden uit data.
1) Bepaal de oplossing van de differentiaalvergelijking die voldoet aan de gegeven beginvoorwaarde.
|
|
2) Op welk tijdstip zal het aantal besmettingen een piek bereiken? (kan ook zonder de diff.vgl expliciet op te lossen, gebruik geen Sage)
3) Stel $a=0.1\, ,\; b=1,\,$ en $c=5$ en los de differentiaalvergelijking opnieuw op. Teken deze oplossing. Wanneer wordt de piek bereikt en hoe hoog is die?
|
|
|
|
|
|
a) Los de differentiaalvergelijking $3y''+6y'+8y=0$ op.
|
|
b) Schrijf de differentiaalvergelijking $3y''+6y'+8y=0$ als een stelsel eerste orde differentiaalvergelijkingen en los het stelsel op.
Vergelijk de oplossingen met deze uit a)
|
|
|
|
Beschouw twee opeenvolgende reacties $ A \rightarrow^{k_1} B \rightarrow^{k_2} C$
De initiële concentraties zijn: $[A]_0=a,[B]_0=0$ en $[C_0]=0$.
De concentraties van $A,B$ en $C$ op $t$ zijn gelijk aan $[A]=x, [B]=y$ en $[C]=z$.
Het systeem wordt gemodelleerd door twee differentiaalvergelijkingen:
$$\begin{cases}\frac{dx}{dt}&=-k_1x \\ \frac{dy}{dt}&=k_1x-k_2y \\\frac{dz}{dt}&=k_2y\end{cases}$$
met $a,k_1$ en $k_2$ strikt positieve constanten.
1) Los het stelsel differentiaalvergelijkingen op in het geval dat $k_1\neq k_2$: bepaal de concentraties van $A,B$ en $C$ in functie van $t$, rekening houdend met de beginvoorwaarde: $x=a$ op $t=0$.
|
|
Wat merk je over de concentraties naarmate de tijd $t$ vordert? (gedrag op oneindig?)
2) Los het stelsel differentiaalvergelijkingen op in het geval dat $k_1=k_2$: bepaal de concentraties van $A,B$ en $C$ in functie van $t$, rekening houdend met de beginvoorwaarde: $x=a$ op $t=0$.
|
|
|
|