Definieer de volgende functie:
$$g(x) = \left\{\begin{array}{ll}
1 & -\frac{\pi}{2}\leq x \leq \frac{\pi}{2}\\
1+\cos(x) & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2}.
\end{array}\right.$$
(a) Teken de grafiek van $g(x)$ en stel je voor hoe de periodieke uitbreiding van $g$ eruit zal zien.
Definieer vervolgens de functie $f(x)$ over $[-\pi,\pi]$ die dezelfde periodieke uitbreiding heeft als $g(x)$.
|
|
(b) Bepaal de Fourierreeks van de functie $f(x)$ (een partiële som tot $n=6$ is voldoende) .
Teken vervolgens $f$ en de partiële som in één figuur.
|
|
Beschouw de volgende functie:
$$f(x) = \left\{\begin{array}{ll}
\frac{2}{\pi}(x+\pi) & -\pi \leq x \leq -\frac{\pi}{2}\\
1 & -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\\
-\frac{2}{\pi}(x-\pi) & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi.
\end{array}\right.$$
(a) Teken de grafiek van $f(x)$.
|
|
(b) Bepaal de Fourierreeks van de periodieke uitbreiding van $f(x)$ (een partiële som is voldoende)
|
|
(c) Bepaal de Fouriercoëfficiënten $a_n$ en $b_n$ van $f(x)$
|
|
Gegeven de functie
$$ f(x)= 1- \frac{x}{3}\, , \; \text{met }\; x \in [-3,3]$$
die periodiek wordt uitgebreid.
(a) Teken de grafiek van $f$ in $[-3,3]$.
|
|
(b) Bepaal de partiële som $f_4(x)$ van de Fourier-reeks van $f(x)$ (dus t.e.m. $n=4$).
|
|
(c) Bereken de Fourier-coëfficiënt $b_3$ van de Fourier-reeksontwikkeling van $f(x)$.
|
|
(d) Bepaal een algemene uitdrukking voor de Fourier-coëfficiënten $a_n$ en $b_n$.
|
|
(e) Beperk $f(x)$ tot $x \in [0,3]$. Hoe moet $f$ uitgebreid worden tot $[-3,3]$ zodanig dat de periodieke verderzetting van die uitbreiding een Fourier-reeksontwikkeling heeft met enkel cosinussen?
Geef het voorschrift van die uitbreiding tot $[-3,3]$ en de partieelsom van de fourierreeks t.e.m. $n=5$.
|
|
|
|